Un compito a casa sulla continuità e il limite

Question

Non so davvero come creare un buon titolo per una domanda sui compiti.

Il mio problema è il problema 29, sezione 1.1, capitolo 1 di Burden & Faires 'Numerical Analysis (9 °) . Questa è una copia PDF funzionante .

Permettere $ f \in C [a, b]$, $ p \in (a, b) $ e $ f(p) \neq 0 $.

Mostra che a $ \delta > 0 $ esistere con $ f(x) \neq 0 \, \forall x \in [p - \delta, p + \delta]$, con $ [p - \delta, p + \delta] \subset [a, b] $.

Ho il manuale della soluzione per l'ottava edizione, che è il seguente:

$ f $ è continuo a $ p $, e $ f(p) \neq 0 $, esiste $ \delta > 0 $ con:

$$ |f(x) - f(p)| < \dfrac{|f(p)|}{2} \tag{1}\label{1} $$

per $ |x - p| < \delta $ e $ a < x < b $. Ci limitiamo $ \delta $ così che $ [p - \delta, p + \delta] \subset [a, b] $.

Faccio fatica a capire la parte restrittiva e la disequazione$ \ref{1} $.

1. Ho pensato che dobbiamo dimostrare

   Esiste $ \delta $ tale da soddisfare:

   1. $ [p - \delta, p + \delta] \subset [a, b] $, e
   2. $ f(x) \neq 0 \, \forall x \in [p - \delta, p + \delta]$

   Come può la soluzione dichiarare apertamente che 1. è vero?

2. Come posso venire con $ \dfrac{f(p)}{2} $?

   Capisco che stanno usando la definizione di limite (data nel libro):

   Una funzione ha il limite $ L $ a $ x_0 $ se, dato qualsiasi $ \varepsilon > 0 $, esiste un vero $ \delta > 0 $ tale che:

   $$ |f(x) - L| < \varepsilon \, \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) $$

   Ma perché scelgono $ \varepsilon = \dfrac{|f(p)|}{2}$? Dal resto della soluzione, credo qualsiasi$ \varepsilon < |f(p)| $lo farà. Questo è il resto:

   $$ f(p) - \varepsilon < f(x) < f(p) + \varepsilon $$

   1. Se $ f(p) < 0 $, poi $ f(x) < f(p) + |f(p)| = 0 $
   2. Se $ f(p) > 0 $, poi $ f(x) > f(p) - |f(p)| = 0 $

   In entrambi i casi, $ f(x) \neq 0 \, \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) $

Grazie per aiutarmi.

Answer 1

Non hai bisogno di dimostrarlo $[p-\delta,p+\delta]\subset [a,b]$ poiché ci sono solo due opzioni:

(1) $[p-\delta,p+\delta]\subset [a,b]$, allora abbiamo finito.

(2) $[p-\delta,p+\delta]$ non è in $[a,b]$. Quindi, poiché la proprietà vale per ogni$x\in[p-\delta,p+\delta]$, certamente vale per qualsiasi $x\in [p-\delta_{1},p+\delta_{1}]$ dove $0<\delta_{1}<\delta$. Scegliere$\delta_{1}$ così che $[p-\delta_{1},p+\delta_{1}]$ appartiene a $[a,b]$ rende l'affermazione vera.

(Una scelta esplicita di questo $\delta_{1}$, nel caso $[p-\delta,p+\delta]$ non è in $[a,b]$, è $\delta_{1}=\min\{\frac{b-p}{2},\frac{p-a}{2}\}$).

---

$\dfrac{|f(p)|}{2}$ è la metà della distanza tra $f(p)$ e $0$. È un buon trucco per ottenere una misura della distanza tra due oggetti inferiore alla distanza esatta tra loro. Puoi sceglierne uno qualsiasi$\varepsilon<|f(p)|$ come dici tu, ma è "inutilmente" preciso.

Con inutile intendo qualcosa come:

Supponiamo di voler dimostrare che tu ed io non siamo la stessa persona, lo sappiamo entrambi poiché (per amor di discussione) siamo a 500 metri di distanza: Quindi dico che "Perché ci sono almeno 250 metri tra di noi quindi non siamo la stessa persona". Dici "Siamo a 0.0000000001 millimetri di distanza, quindi non siamo la stessa persona".

Abbiamo entrambi ragione, ma in questo argomento, proprio come nella domanda, è importante solo che esista una distanza diversa da zero tra noi ($f(p)$ e $0$ nella domanda) e non quale distanza minima deve esistere per renderlo vero.