Una somma combinatoria

Question

• Qualche idea per valutare la somma $$ \sum_{j=m}^{k}\frac{\binom{m}{2m - j\,\,}}{\binom{k}{j}} \quad\mbox{with}\quad m \leq k < 2m - 1. $$
• Ho trovato la somma per $k=2m-1$. In effetti, è verificato che$$ \sum_{j = m}^{2m - 1}\ \frac{\binom{m}{2m-j\,\,}} {\binom{2m - 1\,\,}{j}} = 2m\left(H_{2m} - H_{m}\right), $$ dove $H_{j}$ è il $j$-esimo numero armonico.

Answer 1

Qui il pacchetto Zeilberger di maxima (dai un'occhiata a Petkovsek, Wilf, Zeilberger "A = B" per i dettagli cruenti) dice che la tua somma non è sommabile da Gosper. Ciò significa che non esiste una semplice forma chiusa per questo.

Answer 2

Per poco tempo speravo di poter esprimere il risultato in termini di funzioni ipergeometriche ma non ci sono riuscito.

Se lasciamo $k=m+n$, il problema si riduce a $$S_n=\sum_{j=m}^{m+n} \frac{\Gamma (j+1)\,\,\Gamma (m+n+1-j)}{\Gamma (m+n+1)} \,\binom{m}{2 m-j} $$ che può scrivere $$S_n=\frac{\Gamma(m+1)}{n!\ \Gamma(m+n+1)} P_{n}(m)$$ dove $P_n$ è un polinomio di grado $2n$ (non sembra essere fattorizzabile per nessuno $n$).

I primi sono $$\left( \begin{array}{cc} n & P_n \\ 0 & 1 \\ 1 & m^2+m+1 \\ 2 & m^4+2 m^3+m^2+4 \\ 3 & m^6+3 m^5-2 m^4-9 m^3+13 m^2+18 m+36 \\ 4 & m^8+4 m^7-10 m^6-44 m^5+53 m^4+184 m^3+100 m^2+576 \end{array} \right)$$

Non sono stato in grado di trovare alcun modello per i coefficienti [tranne che il termine costante è $(n!)^2$ e che il coefficiente di $m^{2n}$ è $1$ (!!)].

L'unica cosa che ho osservato è che, se $n$ è pari, il termine è $m$ è sistematicamente mancante.

Senza alcuna prova di ciò, non credo che possa esistere una forma chiusa per un generale $n$.