Valore di un integrale

Question

Ho bisogno di verificare il valore del seguente integrale $$ 4n(n-1)\int_0^1 \frac{1}{8t^3}\left[\frac{(2t-t^2)^{n+1}}{(n+1)}-\frac{t^{2n+2}}{n+1}-t^4\{\frac{(2t-t^2)^{n-1}}{n-1}-\frac{t^{2n-2}}{n-1} \} \right] dt.$$ L'integrando (fattore di $4n(n-1)$) incluso) è il pdf di una certa variabile casuale per $n\geq 3$e quindi mi aspetto che sia 1. Se qualcuno può gentilmente inserirlo in un sistema di computer algebra come MATHEMATICA, sarei molto grato. Non ho accesso a nessun software CAS.

PS: -Non conosco alcun software CAS gratuito. Se c'è qualcuno può condividere

Answer 1

L'integrale può essere riscritto come \begin{align*} I&=\frac{n(n-1)}{2}\int_0^1\frac{t^{n-2}(2-t)^{n+1}-t^{2n-1}}{n+1}-\frac{t^n(2-t)^{n-1}-t^{2n-1}}{n-1}\,dt\\[6pt] &=\frac{1}{2n+2}+\frac{n(n-1)}{2}\int_0^1\frac{t^{n-2}(2-t)^{n+1}}{n+1}-\frac{t^n(2-t)^{n-1}}{n-1}\,dt. \end{align*} Integrando per parti, otteniamo $$\int_0^1\frac{t^{n-2}(2-t)^{n+1}}{n+1}\,dt=\frac{1}{n^2-1}+\int_0^1\frac{t^{n-1}(2-t)^n}{n-1}\,dt.$$ Perciò, \begin{align*} I&=\frac{1}{2}+\frac{n}{2}\int_0^1t^{n-1}(2-t)^n-t^n(2-t)^{n-1}\,dt\\[6pt] &=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\int_0^1(t^n(2-t)^n)'\,dt=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1. \end{align*}

PS È possibile utilizzare SageMath e WolframAlpha per calcoli simbolici. Entrambi sono gratuiti.

Answer 2

Sembra che la tua congettura sia vera. Mathematica dà il risultato$$ (1 + 4^n (-1 + n) n \mbox{Beta} [1/2, -1 + n, 2 + n] - 4^n n (1 + n) \mbox{Beta} [1/2, 1 + n, n])/(2 (1 + n)) $$ in termini di funzione Beta incompleta e inserendo numeri interi casuali $\geq 3$ restituisce sempre 1 (non sono riuscito a convincere Mathematica a sputarlo come risultato generale per arbitrario $n$).

Answer 3

Puoi usare CoCalc . Ad esempio, digita integral(x^2,x)e ottieni1/3*x^3

Consente inoltre parametri simbolici.

Ingresso:

f(x,n)=x^2+n

integral(f(x,n),x)

Produzione:

1/3*x^3+n*x