Vandermonde-Matrix generalizzata

Question

Permettere $z_1, \ldots, z_n \in \mathbb{C}\setminus\left\lbrace 0 \right\rbrace$ essere numeri complessi distinti, $\lambda_1 < \lambda_2 < \ldots < \lambda_n$ numeri interi positivi e definire $$A = \left( z_i^{\lambda_k}\right)_{i,j = 1,\ldots, n} = \begin{pmatrix} z_1^{\lambda_1} & z_1^{\lambda_2} & \cdots & z_1^{\lambda_n} \\ z_2^{\lambda_1} & z_2^{\lambda_2} & \cdots & z_2^{\lambda_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ z_n^{\lambda_1} & z_n^{\lambda_2} & \cdots & z_n^{\lambda_n} \end{pmatrix}.$$ È vero che $A$ è invertibile?

Ho trovato questa domanda correlata ma si tratta di campi finiti dove nel mio caso il campo sottostante è il piano complesso.

Se $\lambda_k = k -1 $ per $k = 1, \ldots, n$, poi $A$è il noto Vandermonde-Matrix, quindi in questo caso la risposta è positiva. Ho provato a calcolare il determinante di$A$ analogamente a come è fatto se $A$ è il Vandermonde-Matrix ma senza successo.

Qualcuno ha un riferimento o una prova che risponde a questa domanda?

Grazie in anticipo...

Answer 1

Non è necessariamente invertibile. Ritenere$z_1 = 1, z_2 = -1$, con $\lambda_1 = 2, \lambda_2 = 4$. Quindi la matrice risultante è$2 \times 2$ matrice di quelli, che chiaramente non è invertibile.

Per capire perché questo in generale non è necessariamente invertibile, pensa alla matrice di Vandermonde come interpolazione polinomiale. La normale matrice Vandermonde, ad esempio, fornisce l'estensione$(n - 1)$polinomio di grado in corso $n$punti distinti. Quello che stai chiedendo qui è di trovare un polinomio i cui coefficienti siano tutti nulli tranne i coefficienti dei termini$x^{\lambda_1}, x^{\lambda_2}, \cdots, x^{\lambda_n}$. Per costruire un controesempio, dobbiamo solo notare che un tale polinomio ha$\lambda_n - \lambda_1$ radici diverse da zero e se $n$ di questi $\lambda_n - \lambda_1$ le radici sono distinte, potremmo trovare $n$ valori distinti a cui dare $z_1, \cdots, z_n$ e che la matrice sia singolare (perché?).