Vanishing Relative Homotopy Groups

Question

Permettere $X$ essere uno spazio topologico collegato al percorso e $A$ un sottospazio di $X$. Correggi un numero intero$k$ maggiore di zero e supponiamo che ogni mappa da un connesso $i$ poliedro dimensionale a $X$ è omotopico a una mappa con immagine in formato $A$ per ciascuno $i\leq k$. Per esempio,$X$ può essere un complesso in CW e $A$ suo $k$-scheletro. Questo implica$\pi_{i}(X,A)=0$ o $H_{i}(X,A)=0$ per $0<i\leq k$? Per un complesso in CW e il suo$k$ scheletro, questo è vero, ma ho bisogno dell'argomento in un senso più generale.

Answer 1

Come affermato, non è affatto vero, anche per uno scheletro di un complesso CW. Paio$(D^n, S^{n-1})$ ha la proprietà richiesta per qualsiasi $k$, poiché il disco è contraibile e ogni mappa è hkmotopica rispetto a una costante, ma, ovviamente, questa coppia ha omologia e relativi gruppi di omotopia di una sfera.