Verifica se un set è uno spazio vettoriale

Question

Ogni volta che c'è un set $S$ che è uno spazio vettoriale, continuo a sentire nelle lezioni che "$S$ è chiuso per addizione e moltiplicazione scalare, quindi è uno spazio vettoriale ". Non capisco perché. Forse quando $S$ è un sottospazio di uno spazio vettoriale più ampio, a cui vengono trasferiti molti degli assiomi dello spazio vettoriale $S$, ma quando non è così, qualcuno può spiegare perché "$S$ è chiuso per addizione e moltiplicazione scalare, quindi è uno spazio vettoriale "? Queste due condizioni garantiscono tutti gli assiomi dello spazio vettoriale?

Answer 1

L'elenco completo dei requisiti è qui . I vettori devono formare un gruppo abeliano sotto addizione, devono essere chiusi sotto moltiplicazione da tutti gli scalari in qualche campo, e con tali scalari di moltiplicazione$a,\,b$ e vettori $u,\,v$ deve soddisfare$$(ab)v=a(bv),\,1v=v,\,(a+b)u=au+bu,\,a(u+v)=au+av.$$

Answer 2

No. Quello a cui ti riferisci è puramente il criterio del subspazio .

Ovviamente ogni spazio vettoriale è chiuso per addizione e moltiplicazione scalare. Ma il "contrario" non è vero.