Weierstrass M Test e funzioni analitiche

Question

Ho studiato come risolvere alcune PDE utilizzando il metodo di Fourier. Ma mi piacerebbe sapere perché non usiamo solo la serie Taylor per risolverli. Dopo una piccola ricerca, ho trovato due risultati interessanti: 1 °) Convergenza uniforme vs. Pointwise Convergence, che ho capito abbastanza bene; 2 °) Teorema di Cauchy-Kowaleski, che non ho potuto.

Il mio tentativo di risolvere, in generale, i DE (tramite Taylor Series) sembra essere sbagliato secondo il primo argomento. Questo perché posso garantire solo una convergenza puntuale. Ecco cosa ho fatto finora: sostituisco ogni funzione nella sua forma Taylor Series. Quindi, concludo che convergerà se:

$$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{f^{(n+1)}(z_0)}{f^{(n)}(z_0)} \right| \leq M \in \mathbb{R}_+\tag{1}\label{1} $$

Per ottenere \ eqref {1}, riscrivo $f$nella sua forma Taylor Series e quindi applicare il test del rapporto. Tuttavia, come sembra, garantirà una convergenza puntuale che non è sufficiente.

Quindi, la mia domanda è: possiamo usare il test M di Weierstrass per verificare se la serie Taylor converge in modo uniforme? In caso affermativo, come devo procedere con i calcoli? Assumiamo tutte le funzioni$f$ sono analitiche complesse nei loro domini aperti e semplicemente connessi.

Come posso trovare tutti i file $M_n$ (https://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_M-test)?

Qualsiasi aiuto e consiglio sono i benvenuti. Grazie

Answer 1

Quello che penso ti manchi è la definizione del raggio di convergenza.

1. Una serie di potenze $\sum_{n=0}^\infty a_n z^n $ converge in modo assoluto e puntuale per $|z|<R$, dove $R$ è il raggio di convergenza, definito da $$ \frac1R \overset{\triangle}= \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}.$$ Anzi, per ciascuno $z$ tale che $|z|<R$, noi abbiamo $|z|/R<1$, quindi possiamo usare la formula della serie geometrica come segue: $$ \sum_{n=0}^\infty |a_n z^n| = \sum_{n=0}^\infty (|a_n|^{1/n} |z|)^n \le \sum_{n=0}^\infty \left (\frac1R|z|\right)^n = \frac1{1-|z|/R} < \infty. $$

2. Una volta che sai che converge su una palla aperta $|z|<R$, puoi verificarlo per ciascuno $\epsilon>0$, converge uniformemente sul set $\{z:|z|<R-\epsilon\}$. Questo è dal test Weierstrass M:$$ |a_n z^n| \le \left(\frac1R|z|\right)^n \le \left(\frac{R-\epsilon}R\right)^n =: M_n $$ da $\sum_{n=0}^\infty M_n < \infty$ (di nuovo, serie geometrica), $\sum_{n=0}^\infty a_n z^n$ converge in modo assoluto e uniforme.

Answer 2

Le serie di potenze non convergono uniformemente sul loro disco di convergenza. Ma lo fanno localmente, nel senso che convergono uniformemente su ogni sottoinsieme compatto del loro disco di convergenza. Il test Weierstraß-M può essere utilizzato per dimostrarlo.

Innanzitutto si noti che ogni sottoinsieme compatto di un disco centrato su $z_0$ è contenuto in un compact disc anch'esso centrato su $z_0$. Quindi è sufficiente mostrare una convergenza uniforme sui compact disc$K_r(z_0)$ con raggio $r$ inferiore al raggio di convergenza $R$. Su un disco del genere abbiamo

$$\vert a_k(z-z_0)^k\vert=\vert a_k\vert\vert z-z_0\vert^k\leq\vert a_k\vert r^k,$$

e si sa che la serie con questi termini converge perché la serie di potenze originale converge assolutamente. Ora possiamo applicare il test per mostrare la convergenza uniforme sul compact disc. Ma generalmente non converge sull'intero disco di convergenza. Ad esempio, l'espansione in serie della funzione esponenziale no. Nemmeno l'espansione in serie di$\frac{1}{1-x}$ a $0$.