です $(4+\sqrt{5})$ の素イデアル $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$？

Question

整域を検討する $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$。です$(4+\sqrt{5})$ の素イデアル $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$？

答えがわからないので、どんな助けでも大歓迎です。

ご了承ください $4+\sqrt{5}$ の既約元です $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$、その規範以来 $N(4+\sqrt{5})=11$ は素数です（ここではいつものように $N(a+b\sqrt{5})=a^2-5b^2$ すべてのための $a, b \in \mathbb{Z}$）。とにかく$\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$ 次の因数分解から簡単にわかるように、は一意の因数分解ドメインではありません $4=2 \cdot 2 = (3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})$。したがって、少なくとも私にとっては、質問はそれほど簡単ではありません。

Answer 1

ご了承ください $11=(4+\sqrt{5})(4-\sqrt{5})\in\langle 4+\sqrt{5}\rangle$、そして同型写像の連鎖があります $$\frac{\mathbb{Z}[\sqrt{5}]}{\langle4+\sqrt{5}\rangle}=\frac{\mathbb{Z}[\sqrt{5}]}{\langle4+\sqrt{5},11\rangle}\cong\frac{\mathbb{Z}[t]}{\langle t^2-5,4+t,11\rangle}.$$ また、 $t^2-5=11-(4-t)(4+t)$、wherece $\langle t^2-5,4+t,11\rangle=\langle 4+t,11\rangle$、したがって上記のリング $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]\big/\langle 4+\sqrt{5}\rangle$ 実際には同型です $$\frac{\mathbb{Z}[t]}{\langle 4+t,11\rangle}\cong\frac{(\mathbb{Z}\big/11)[t]}{\langle \bar{4}+t\rangle}.$$ さて、 $\mathbb{Z}\big/11$ フィールドなので、 $(\mathbb{Z}/11)[t]$ は主要な理想的なドメインであり、明らかに $\bar{4}+t$ 既約–したがって素数– $(\mathbb{Z}/11)[t]$。これは、上記のリングがドメインであることを意味します。$\langle 4+\sqrt{5}\rangle$ 確かにの素イデアルです $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$。