行列AをPA = LUに分解するときに、行列Lの行を切り替える方法は？

Aug 19 2020

置換行列を見つける $P$、下三角行列 $L$ と上三角行列 $U$ そのような $$ PA=LU $$ 与えられた $$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ -2 & -3 & -4 & -5 & -6 & -7 \\ 3 & 7 & 11 & 16 & 21 & 27 \\ -4 & -5 & -5 & -5 & -5 & -5 \end{pmatrix}$$

ここまで来ました

$$ U = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$$ そして $$ L= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 1 & 0 \\ -4 & 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 私がしなければならない最後のステップは、4番目の行を3番目の行に変更することですが、下三角行列Lのエントリを変更する方法が正確にわかりません。Lに切り替える必要があることを誰かが正確に説明できますか？

回答

2 Ian Aug 19 2020 at 16:21

長い答え：前方消去の結果を次の形式の行列方程式と考えてください$U=E_r P_r E_{r-1} P_{r-1} \dots E_1 P_1 A$ どこ $E_i$ 「除去」マトリックスです（下の列をクリアします $i$通常の方法でピボット）および $P_i$ を移動する順列行列のいずれかです $i$にピボット $i$3番目の行またはID（そのステップで交換を行わなかった場合）。消去行列は下三角行列であり、一緒に乗算してもその状態を維持します。しかし、置換行列が含まれると、それらは下三角行列ではなくなります。

だから今あなたは一般的にその積を反転したい $E_i P_i$ 隔離する $A$。それらをすべて一緒に保持すると、逆行列は下三角行列になりません。$PA=LU$あなたはそれをしたいです。代わりにあなたがすることはあなたが製品を書き直すことです$E_r P_r \dots E_1 P_1$、したがって、すべての置換行列が右側にあり、すべての除去行列が左側にあります。そのためには、書き方を理解するだけで十分です。$PE$ なので $E' P'$。

これはで行うことができます $P'=P$ そして $E'=P E P^{-1} = P E P^T$、簡単に確認できるように： $E' P'=P E P^{-1} P=PE$。この$E'$ この形式を取ることは、代数の一般的な状況の例であり、活用は、すでに適用されている別の可逆操作の「コンテキスト」で操作を適用するために使用されます。

これを何度も繰り返すことで、すべての置換行列を右に移動できます。結果は次のようになります。

$$U=E_r (P_r E_{r-1}^T P_r^T) \cdot ((P_r P_{r-1}) E_{r-2} (P_r P_{r-1})^T) \cdot \dots \cdot ((P_r \dots P_2) E_1 (P_r \dots P_2)^T) \\ \cdot P_r \cdot \dots \cdot P_1 \cdot A.$$

だから今

$$L^{-1}=E_r (P_r E_{r-1} P_r^T) \cdot ((P_r P_{r-1}) E_{r-2} (P_r P_{r-1})^T) \cdot \dots \cdot ((P_r \dots P_2) E_1 (P_r \dots P_2)^T)$$

これは一言で言えばどういう意味ですか？それは正しいものを手に入れることを意味します$L^{-1}$、「計算された」の重要なエントリを移動する必要があります $L^{-1}$"これらのエントリが計算された後に行ったすべての行交換に基づいています。反転$L^{-1}$ 最後に、同じように機能します（重要なエントリの記号を反転するだけです）。

したがって、あなたの例では、行を交換する効果 $3$ そして $4$ あなたが更新することです $L$ インデックスの役割を交換することによって $3$ そして $4$、その結果：

$$L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 & 0 \\ -4 & 3 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

これは単に行を交換することと同じではないことに注意してください$3$ 行付き $4$。

その後、この特定の例では完了ですが、そうでない場合は、交換しません$3$ と $4$ 後続のステップで。

簡単な答え：最終的なマトリックス$P$あなたが行ったすべての行交換を達成します。取得するため$L$、左側で置換行列を乗算することで達成される行交換を行うたびに $P$、現在のを置き換えます $L$ と $P L P^T$、これは、現在の行と列の両方でその順列を実行することを意味します $L$ （ただし、決勝ではありません $L$）。

1 Moo Aug 19 2020 at 19:08

行削減を使用して、

$$U = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$$

@Ian（+1）による優れた書き込みへの代替アプローチとして、スワップを含む行削減手順を次のように逆にすることができます。 $$A = E_1^{-1}E_2^{-1}E_3^{-1}E_4^{-1}U$$