非負実数のn乗根の存在を証明する
次の結果を証明したいと思います。 $x,y \geq 0$ 非負の実数であり、 $n,m \geq 1$正の整数である。場合$y = x^{\frac{1}{n}}$、その後 $y^{n} = x$。 "これは、テレンス・タオの著書Analysis 1の補題5.6.6（a）です。
n乗根は次のように定義されます。 $x^{\frac{1}{n}}:=$sup$\{y\in \mathbb{R}: y\geq 0$ そして $y^{n}\leq x\}$。
以前、次の補題が証明されています。「」$\textbf{Lemma 5.6.5:}$ 「しましょう $x\geq 0$ 非負実数であり、 $n\geq 1$正の整数である。その後、セット$E:= \{y\in \mathbb{R}: y\geq 0$ そして $y^{n}\leq x\}$空ではなく、上記の境界もあります。特に、$x^{\frac{1}{n}}$ 実数です。」
補題5.6.5を考えると、私たちが示す必要があるのはそれだけです $y^{n}<x$ そして $y^{n}>x$矛盾につながる。たとえば、$n=2$ そして $y^{2}<x$ 私たちは見つけることができます $\varepsilon>0$ そのような $(y+\varepsilon)\in E$ 拡大するだけで $(y+\varepsilon)^{2}$ と選択 $\varepsilon$ 適切に、その仮定と矛盾する $y = sup E$。
私はこの結果がどちらかのアイデンティティを使用してどのように証明されるかをよく知っています $b^{n} - a^{n} = (b-a)(b^{n-1} + b^{n-2}a + ... +a^{n-1})$、これは、たとえばRudinの実解析の本、または二項定理で使用されます。しかし、私は教科書に書かれているいくつかのヒントだけを使って結果を証明しようとしています。ヒントは次のとおりです。
1）その証明を確認します $\sqrt2$は実数です（証明は上記の正確な概要に従います）。2）矛盾による証明。3）秩序の三分法。4）命題5.4.12
$\textbf{Proposition 5.4.12:}$ 「しましょう $x$正の実数になります。次に、正の有理数が存在します$q$ そのような $q\leq x$、および正の整数が存在します $N$ そのような $x\leq N$。」
上記の4つのヒントだけを使用して結果を証明しようとしましたが、どこにも到達できませんでした。4つのヒントは、上記のステートメント以上で構成される補題全体に対して与えられているため、すべてのヒントがこの特定のステートメントに使用されることを意図していることは明らかではありません。以前は、べき乗のプロパティは実数と整数の指数で証明されていたため、これらを証明に使用できます。
ここに同様の質問があります（二項式なしで）n番目のルートの見出語を助けますが、私の質問はそこで答えられていません（私が読んだ他の同様の投稿でも答えられていません）。
私の試みは次のアイデアに集中しています。 $y^{n} < x$。次に$x-y^{n}>0$、これはの存在を意味します $q\in \mathbb{Q}^{+}$ そのような $q\leq x -y^{n}$。また、$0<q<1$ 取得するため $q^{n}\leq x-y^{n}$、これが役立つかどうかは私にはわかりませんが。私たちがそれを仮定すると$(y+\varepsilon)^{n} \geq q^{n} + y^{n}$ すべてのために $\varepsilon>0$、その後、制限を次のように取ると矛盾が生じる可能性があります $\varepsilon$ゼロになる傾向があります。ただし、制限は次の章まで作成されません。代わりに、私は見つけようとしてきました$\varepsilon$ 直接、特にヒント番号4を使用しようとすると、運が悪くなります（ここにすべての厄介な試行を含めると、すでに長い投稿が読めなくなると思います）。
どんな助けでも大歓迎です。長い投稿をお許しください。この記事をお読みいただき、誠にありがとうございます。
$\textbf{Edit:}$私は以下の解決策で私の試みを投稿しました。また、合理的なものを見つけるために命題5.4.12を使用する必要がないことも認識しています。$q$。たとえば、実数で作業できます$x-y^{n}$ （（$y^{n]-x$） 直接。
回答
これが組み合わせ論を使わない私の試みです。トリックは置き換えることです$(y + \varepsilon)^n$ そして $(y - \varepsilon)^n$ と $y^n + \delta$ そして $y^n - \delta$ それぞれ。
しましょう $E = \{z \in \mathbb{R} : (z \geq 0) \land (z^n \leq x)\}$。そう$y = x^{1 / n} = \sup(E)$。矛盾のために、$y^n \neq x$。次に、命題5.4.7により、次のステートメントの1つだけが当てはまります。
（私） $y^n < x$。今、私たちはそれを示したい$\exists\ \varepsilon \in \mathbb{R}$ そして $\varepsilon > 0$ そのような $(y + \varepsilon)^n < x$。なぜなら$y < y + \varepsilon$、だから私たちは持っています $y^n < (y + \varepsilon)^n$。しましょう$\delta = (y + \varepsilon)^n - y^n$、その後 $\delta > 0$。系5.4.13までに、$N \in \mathbb{N}$ そして $N > 0$ そのような $\delta < 1 \times N$。命題5.4.14により、$\exists\ q \in \mathbb{Q}$ そのような $\delta < q < N$、つまり $\delta / q < 1$、そして私たちは $$ \begin{align*} (y + \varepsilon)^n &= y^n + \delta \\ &= y^n + q \delta / q & (q \neq 0) \\ &< y^n + q. & (\delta / q < 1) \end{align*} $$ これは、それを示すことができれば $\exists\ q \in \mathbb{Q}$ そして $q > 0$ そのような $y^n + q < x$、それから私たちはそれを示すことができます $\exists\ \varepsilon \in \mathbb{R}$ そして $\varepsilon > 0$ そのような $(y + \varepsilon)^n < x$。私たちはそのようなことを示すことができます$q$ 命題5.4.14によって存在するため $\exists\ q \in \mathbb{Q}$ そして $0 < q < x - y^n$。だから私たちは持っている必要があります$\varepsilon \in \mathbb{R}$ そして $\varepsilon > 0$ そのような $(y + \varepsilon)^n < x$。しかし、これは$y + \varepsilon \in E$ そして $y + \varepsilon \leq y$、矛盾。
（II） $y^n > x$。今、私たちはそれを示したい$\exists\ \varepsilon \in \mathbb{R}$ そして $\varepsilon > 0$ そのような $(y - \varepsilon)^n > x$。なぜなら$y > y - \varepsilon$、だから私たちは持っています $y^n > (y - \varepsilon)^n$。しましょう$\delta = y^n - (y - \varepsilon)^n$、その後 $\delta > 0$。命題5.4.13により、$q \in \mathbb{Q}$ そして $q > 0$ そのような $q < 2q \leq \delta$。次に、$\delta / q > 1$ そして $$ \begin{align*} (y - \varepsilon)^n &= y^n - \delta \\ &= y^n - q \delta / q & (q \neq 0) \\ &> y^n - q. & (\delta / q > 1) \end{align*} $$ これは、それを示すことができれば $\exists\ q \in \mathbb{Q}$ そして $q > 0$ そのような $y^n - q > x$、それから私たちはそれを示すことができます $\exists\ \varepsilon \in \mathbb{R}$ そして $\varepsilon > 0$ そのような $(y - \varepsilon)^n > x$。命題5.4.14により、そのような（q）が存在することを示すことができます。$\exists\ q \in \mathbb{Q}$ そして $0 < q < y^n - x$。だから私たちは持っている必要があります$\varepsilon \in \mathbb{R}$ そして $\varepsilon > 0$ そのような $(y - \varepsilon)^n > x$。しかし、これは$y - \varepsilon$ の上限です $E$ そして $y - \varepsilon < y = \sup(E)$、矛盾。
上記のすべてのケースから矛盾が発生するため、 $y = x^{1 / n} \implies y^n = x$。
これが私の解決策の試みです。場合に注意してください$y^{n} > x$ 最初の誘導で証明された結果を設定することで使用できることを望みました $y=k+\varepsilon$、しかしこれまでのところ、ペアが存在することを証明することはできませんでした $(k,\varepsilon)$ そのような $y=k+\varepsilon$ そして $(k+\varepsilon)^{n} - k^{n}<q$ 同時に満足しています。
誘導によって次のことを証明します。非負の実数の場合 $y$ 正の有理数の場合 $q$ が存在します $\varepsilon>0$ そのような $(y+\varepsilon)^{n} - y^{n} < q$。ケース$n=1$明らかです。ここで、ステートメントが次のように証明されているとします。$n=k$。それが成り立つことを示さなければなりません$n=k+1$。ご了承ください$(y+\varepsilon)^{k+1} - y^{k+1} = (y+\varepsilon)((y+\varepsilon)^{k} - y^{k}) + y^{k}\varepsilon$。しましょう$q_{0}$ より小さい正の有理数である $q/2(y+1)$。そのような数は命題5.4.14によって存在します。私たちの帰納法の仮説によって、$\varepsilon_{0}$ そのような $(y+\varepsilon)^{k} - y^{k} < q_{0}$。もあります$\varepsilon_{1}$ そのような $\varepsilon_{1} < 2y^{k}$。したがって、$\varepsilon = $分$(1, \varepsilon_{0}, \varepsilon_{1})$、わかります $(y+\varepsilon)^{k+1} - y^{k+1} < (y+1)((y+\varepsilon)^{k} - y^{k}) + y^{k}\varepsilon < q/2 + q/2 < q$。これで誘導は完了です。
しかし、これは存在することを示しています $\varepsilon>0$ そのような $(y+\varepsilon)^{n} < q + y^{n}\leq x$、これは $(y+\varepsilon)\in E$。したがって、$y$ の上限ではありません $E$、矛盾。
次に、 $y^{n} > x$。これは次のことを意味することに注意してください$y>0$、以来 $y^{n} = 0$ 場合に限り $y=0$。次に、正の有理数が存在します$q$ そのような $y^{n}-x\geq q$。したがって、存在することを示すことができれば$0 < \varepsilon < y$ そのような $y^{n} - (y-\varepsilon)^{n} < q$、完了です。現時点でより洗練された解決策がないので、上記と同じ誘導手順を実行しましょう。正の実数に対してそれを証明したい$y$ および任意の正の有理数 $q$ が存在します $\varepsilon$、と $0<\varepsilon < y$、 そのような $y^{n} - (y-\varepsilon)^{n} < q$。ベースケース$n=1$明らかです。次に、次のステートメントを証明したとします。$n=k$。ご了承ください$y^{k} - y^{k+1} = (y-\varepsilon)(y^{k} - (y-\varepsilon)^{k}) + \varepsilon y^{k} < y(y^{k} - (y-\varepsilon)^{k}) + \varepsilon y^{k}$。命題5.4.14（任意の2つの実数の間に有理数が存在する）により、正の有理数が存在する$q_{0}$ そのような $q_{0} < q/(2y)$。私たちの帰納法の仮説によって、私たちは存在することを知っています$\varepsilon_{0}$ そのような $y^{k} - (y-\varepsilon)^{k} < q_{0}$。また、$\varepsilon_{1} < q/(2y^{k})$。次に、$\varepsilon = $分$(y, \varepsilon_{0}, \varepsilon_{1})$、 我々が得る $y^{k} - y^{k+1} = (y-\varepsilon)(y^{k} - (y-\varepsilon)^{k}) + \varepsilon y^{k} < y(y^{k} - (y-\varepsilon)^{k}) + \varepsilon y^{k} < q/2 + q/2 = q$。これで誘導が閉じます。したがって、これを使用する$\varepsilon$、わかります $-(y-\varepsilon)^{n} < q - y^{n} \leq -x$、これは $(y-\varepsilon)^{n} > x$。したがって、$y-\varepsilon$ の上限です $E$、これは次の事実と矛盾します $y$ の最小上限です $E$。
両方から $y^{n}<x$ そして $y^{n}>x$ 矛盾につながる、私たちはそれを結論付けます $y^{n}=x$。