帰納法による証明-これは正しいですか？

Question

帰納法による証明：すべての人のために $n\in \mathbb{N}$、 $7^{2n}+ 2^{(2n+1)}$ の倍数です $3$。

私はかなり遠くまで行ったと思いますが、それが正しいかどうか/どのように続けるべきかわかりません。私の仕事：

基本ケース：それを示す $n=1$ 保持： $7^2 + 2^3 = 57$ そして $3|57$ そう $n=1$ 保持します。

と仮定する $n=k$ 保持： $7^{2k}+2^{(2k+1)}$。

証明してください $n=k+1$ 保持： $7^{(2k+2)} + 2^{(2k+3)}$

これを並べ替えて、と同じ形にしました $n=k$ と $7^2 \cdot 7^{2k} + 2^2 \cdot 2^{(2k+1)}$。

次に、これを簡略化して再配置しました $4 \cdot 7^2k + 4 \cdot 2^{(2k+1)} + 45 \cdot 7^{2k}$。

の倍数を取り出す $4$ 与える $4(7^{2k} +2^{2k+1}) + 45 \cdot 7^{2k}$ それ以来 $(7^{2k} +2^{2k+1})$ の倍数です $3$、私はそれを等しくさせます $3m$ っていうことは $4(3m) + 45 \cdot 7^{2k}$。

最後に、私はの倍数を取り出しました $3$ 取得するため $3(4m + 15 \cdot 7^{2k})$ これはの倍数です $3$したがって、ステートメントは誘導によって保持されます。

私の証明は完全に正しいですか？これを行うためのより簡単な方法はありましたか？

Answer 1

あなたの証明は正しいですが、冗長すぎます。書き留めてみませんか $$ 7^{2k+2}+2^{2k+3} = 49(7^{2k})+4(2^{2k+1})=45(7^{2k})+4(7^{2k}+2^{2k+1}) $$ これで完了です。

Answer 2

より簡単な方法を求めたので（そして誘導を使用する必要があると仮定して）、モジュラー演算の使用を検討してください。

のベースケース用 $n=1$ 我々は持っています $7^{2n}+ 2^{2n+1}\equiv 1^{2n}+-1^{2n+1} \equiv 0 \pmod 3$

次に $7^{2n+2}+2^{2n+3}=7^{2}\cdot7^{2n}+4\cdot2^{2n+1}\equiv7^{2n+2}+2^{2n+1}\equiv0\pmod 3$ 仮説による。

ただし、この場合、ベースケースを個別にチェックする必要なしに同じことができるため、これは少し不自然です。