コンパクトなオープンサブグループとラティスの関係

Question

しましょう $F$ 非アルキメデスのローカルフィールドであること、 $\mathfrak o$ そのユニットのリングと $\mathfrak p$そのユニークな最大の理想。私はそれを示したいと思います$K=GL_2(\mathfrak o)$ のユニークな最大コンパクトオープンサブグループです $GL_2(F)$ 共役まで。

私が与えられたヒントは、これをラティスに関連付けることを示唆しており、その関係はあまりわかりません。ヒントは次のとおりです。

• 存在することを示す $K$-安定 $\mathfrak o$-格子（ここでは何でも取ることができます $\mathfrak o$-格子 $\Lambda$ その後 $K\Lambda$ です $\mathfrak o$-安定）
• 唯一のことを示す $GL_2(\mathfrak o)$-安定した格子は $\mathfrak p^j \oplus \mathfrak p^j$ （これは単に行/列を操作して評価を見るだけの問題だと思います）

しかし、次は何ですか？これらの格子の特性を次の関係に関連付ける方法がわかりません$K$ そして $GL_2(\mathfrak o)$。よろしくお願いします。

Answer 1

2つのラティスがある場合 $L, L'$、 見つけようとする $g \in GL_2(F)$ そのような $g(L)=L'$。

今なら $K, K'$ それぞれのラティスに対応するスタビライザーサブグループは、上記を使用してどのように関連していますか $g$？