これをどのように証明できますか： $\int_0^{2\pi} \exp(i a\cos(x))\, dx = 2 \pi I_0(a)$

Question

どうすればそれを主張できますか $$ \int_0^{2\pi} \exp(i a\cos(x)) \,dx = 2 \pi I_0(a) $$ どこ $I_0(a)$ 修正されたベッセル関数です。

私はそれを以下のように単純化してみました： \begin{align} \int_0^{2\pi} \exp(i a\cos(x))\, dx & = \int_0^\pi \exp(i a\cos(x))\, dx + \int_\pi^{2\pi} \exp(i a\cos(x))\, dx\\ & = \pi I_0(a) + \int_0^\pi \exp(i a\cos(\theta + \pi))\, d\theta\\ & = \pi I_0(a) + \int_0^\pi \exp(-i a\cos(\theta)) \, d\theta \end{align}

どうすればそれを示すことができますか $$ \int_0^\pi \exp(-i a\cos(\theta)) \, d\theta = \pi I_0(a) \text{ ?} $$

Answer 1

置換の実施 $x\mapsto 2\pi-x$、

$$\int_\pi^{2\pi}e^{ia\cos(x)}\,dx=\int_0^\pi e^{ia\cos(x)}\,dx$$

したがって、私たちはそれを主張します

$$\begin{align} \int_0^{2\pi} e^{ia\cos(x)}\,dx&=2\int_0^\pi e^{ia\cos(x)}\,dx\\\\ &=2\pi I_0(a) \end{align}$$

示されるように！