の正確な意味 $\ll_{n, \varepsilon}$ 数論論文で

Question

読めばDietmannのこの論文を、私は次の行に出くわしました

$N_n(H;G) \ll_{n, \varepsilon} H^{n - 1 + \delta_G + \varepsilon}$

それは定理の声明に現れます $1$。シンボルは正確には何ですか$\ll_{n, \varepsilon}$ この文脈で意味しますか？

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ディートマンはこの記譜法の意味を説明しておらず、私はこれまでこの記譜法を見たことがありません。この「不等式」の左側はに依存しません$\varepsilon$、この質問とは反対ですが、そこにある答えを読んだことから、私の推測は

すべてのために $\varepsilon > 0,$ 定数が存在します $M, K > 0$ すべての人のために $n > M$、私たちはそれを持っています $N_n(H;G) \leq K H^{n - 1 + \delta_G + \varepsilon}$。

テレンス・タオのこのブログ投稿を読み、ABC予想の彼の声明を見た後（これは表記法を使用しています$\ll_\varepsilon$）、そして量化子の観点からABC予想を表現している対応するウィキペディアのページを見ると、私は$N_n(H;G) \ll_{n, \varepsilon} H^{n - 1 + \delta_G + \varepsilon}$ 意味することもあります

すべての整数に対して $n \geq 1$、 $\varepsilon > 0$、定数が存在します $K$ そのような $N_n(H;G) \leq K H^{n - 1 + \delta_G + \varepsilon}.$

Answer 1

$X \ll_{n,\epsilon} Y$ 通常、「一定」があることを意味します $C$ これはパラメータに依存します $n$ そして $\epsilon$ そのような $X \leq C \cdot Y$。これはあなたが考えるときに意味があります$X$ そして $Y$ 他のいくつかの他の変数の関数として $n$ そして $\epsilon$、そして扱う $n$ そして $\epsilon$ パラメータとして。