最適輸送における変位補間の安定性

Aug 19 2020

しましょう $(X,d)$ 完全に分離可能な距離空間であり、 $(\mathcal{P}_2 (X), W_2)$ 上の確率測度のスペースになります $X$有限の二次モーメントで、2-ワッサースタイン距離を備えています。離散測度は内部に密集していることが知られています$(\mathcal{P}_2 (X), W_2)$ -つまり、 $\mu \in \mathcal{P}_2 (X)$、および $\delta>0$、離散測度を見つけることができます $\mu_\delta$$W_2 (\mu, \mu_\delta)<\delta$

さあ、 $\mu_0, \mu_1 \in \mathcal{P}_2 (X)$、そして $\mu_t$ である $W_2$ 測地線接続 $\mu_0$ そして $\mu_1$ (別名 $\mu_t$ は[必ずしも一意ではない]変位補間です $\mu_0$ そして $\mu_1$)。変位補間は離散近似で安定していますか?つまり、離散的に選択できますか$\mu_{0,n}, \mu_{1,n}$ そのような $\mu_{t,n}$ に近い $\mu_t$ すべてのために $t\in[0,1]$

回答

3 FrancescoNobili Aug 19 2020 at 15:09

変位補間 $\mu_t$Wasserstein測地線は一意ではないため、事前に修正ないでください。したがって、正しい質問は次のようになります。近似シーケンスを修正する$(\mu_{0,n}),(\mu_{1,n})$ そして $W_2$ 測地線 $\mu_{t,n}$が存在する場合、および尋ねる1を $\mu_t$ に近い $\mu_{t,n}$ にとって $t \in [0,1]$