セットはグループですか？
しましょう $A$ 空でないセットであること、 $+$ は連想二項演算であり、それぞれに対して $a$ に $A$、2つのマップ
- $A \to A$ 送信します $x$ に $x+a$
- $A \to A$ 送信します $x$ に $a+x$
全単射マップです。問題は、$(A, +)$ グループかどうか？
私の理解 $A$ アイデンティティがあり、すべての要素が逆である場合、はグループですが、これらの全単射マップを使用してそれを証明/反証する方法がよくわかりません $A$ グループです。
回答
中立要素（単位元）
任意の要素を修正する $a$。地図以来$x \to a + x$ 全単射、要素 $a$ このマップの下に1つのプリイメージがあります。つまり、一意の要素が存在します。 $e$ そのような $a + e = a$。
次のステップは証明することです $\forall y: y + e = y$。任意を選択してください$y$。地図の双射性によって$x \to x + a$ が存在します $x$ そのような $x + a = y$。今、追加$x$ 平等の左側 $a + e = a$ （そして結合性を使用して） $y + e = y$、qed。
そう、 $e$右中立要素です。次に、$e + e = e$、および上記と同じ引数によって $e$ 左中立要素でもあります。
逆
最後に、逆関数の存在を証明する必要があります。任意を選択してください$x$。左右加算の全射性により、要素が存在します$y_1$ そして $y_2$ そのような $y_1 + x = e$ そして $x + y_2 = e$。ここで注意してください
$$ y_1 = y_1 + e = y_1 + (x + y_2) = (y_1 + x) + y_2 = e + y_2 = y_2. $$
したがって、 $y_1$ （これも $y_2$）はの逆です $x$。
一意のID要素が必要です。
ユニークなものがあります $e_a$ それぞれについて $a$ そのような $ae_a=a$。
今ユニークを取ることによって $c$ そのような $ca=b$、わかります $cae_a=be_a$ そしてまたそれ $cae_a=ca=b$、 そのため $be_a=b$ したがって $e_a=e_b$。
したがって、一意の右逆があります。同様に、固有の左逆があります。次に、2つが等しいことを示す必要があります。しかし、それは簡単です。$e_le_r=e_r=e_l$。
今、二元性はユニークなものがなければならないことを意味します $x_a$ そのような $ax_a=e$。そして同様にユニークなものがあります$y_a$ そのような $y_aa=e$。しかしその後$y_aax_a=x_a=y_a$。
したがって、クロージャと結合性が本質的に与えられているため、グループの4つの条件を満たしています。
少なくとも有限の場合 $A$、はい、それはグループを持つのに十分です。
コール $\theta_a$ そして $\gamma_a$、それぞれ、固定要素による左右の平行移動マップ $a\in A$。さて、仮定により、$\theta_a,\gamma_a\in \operatorname{Sym}(A)$ および（結合性） $\theta_a\theta_b=\theta_{ab}$。したがって（閉鎖）$\{\theta_a, a \in A\}\le \operatorname{Sym}(A)$、 それゆえ $\exists \tilde e\in A$ そのような $\theta_{\tilde e}=Id_A$。同様に、$\gamma_a\gamma_b=\gamma_{ba}$、 $\exists \hat e\in A$ そのような $\gamma_{\hat e}=Id_A$; だが$\tilde e=\tilde e\hat e=\hat e$ したがって、左と右のアイデンティティは一致します、と言います $e:=\tilde e=\hat e$。
さて、 $\theta_a,\gamma_a\in \operatorname{Sym}(A)$、その後 $\exists(!) \tilde b,\hat b \in A$ そのような $\theta_a(\tilde b)=\gamma_a(\hat b)=e$ または、同等に、 $a\tilde b=\hat ba=e$; この後者から、例えば $\hat ba=a\hat b$、wherece $a\tilde b=a\hat b$ または、同等に、 $\theta_a(\tilde b)=\theta_a(\hat b)$、 そして最後に $\tilde b=\hat b=:a^{-1}$。