0으로 설정된 Borel의 밀도

Question

Lebesgue 밀도 정리는 다음과 같이 말합니다. $E$ Lebesgue 측정 가능한 집합이고 밀도는 $E$ 거의 모든 요소에서 $E$ 1이고 밀도 $E$ 거의 모든 요소에서 $E$ 0입니다.

그러나 각각에 대해 사실입니까? $t$ 정확히 0과 1 사이, Borel 세트가 있습니다. $E$ 밀도가있는 $t$ 0시에?

나는 임의의 값에 대해 그러한 세트를 구성하는 방법을 모릅니다. $t$. 어떤 도움을 주시면 감사하겠습니다.

Answer 1

예. 차원에서$\geq 2$ 이것은 사소한 일이므로 실제 라인을보고 있다고 가정합니다.

주어진 $n>0$ 과 $\alpha\in [0,1]$, 넣어 $U'_{n,\alpha}=(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}))$ 과 $U_{n,\alpha}=U'_{n,\alpha}\cup -U'_{n,\alpha}$.

놓다 $U_\alpha=\bigcup_{n\geq 1} U_{n,\alpha}$. 그런 다음 밀도$U_{n,\alpha}$ ...에서 $0$ 정확히 $\alpha$. 이것을 보려면 쓰기$m_r$ ...에 대한 $\frac{\lambda(U_\alpha\cap (-r,r))}{2r}$ 다음 사항에 유의하십시오.

• 만약 $r\in (\frac{1}{n+1},\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}))$, 다음 $m_{\frac{1}{n+1}}\leq m_r\leq m_{\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}$
• 만약 $r\in (\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}),\frac{1}{n})$, 다음 $m_{\frac{1}{n}}\leq m_r\leq m_{\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}$
• $m_{\frac{1}{n}}=\alpha$,
• $m_{\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}\leq m_{\frac{1}{n+1}}+n\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=\alpha+\frac{\alpha}{n+1}$.

Answer 2

힌트 : Let $I_n=(1/(n+1),1/n).$ 허락하다 $L_n$ 길이 $I_n.$ 아웃 $I_n$ 우리는 하위 간격을 선택합니다

$$J_n = (1/(n+1),1/(n+1)+tL_n).$$

$J_n$ "$t$-물린 " $I_n.$ 세트 $E=\cup J_n.$ 이 권리에 대해 생각하고 있다면 우리는

$$\lim_{r\to 0^+} \frac{m((0,r)\cap E)}{r} = t.$$

Answer 3

일련의 숫자를 고려하십시오. $r_n \searrow 0$ 그런 $\frac{r_{n-1}}{r_n} \to 1$. 허락하다$\theta$ 지도를 보존하는 조치 $(0,r_1]$ ...에 $\mathbb R^2$ 걸립니다 $(\pi r_{n}^2,\pi r_{n-1}^2] \subset \mathbb R$ ...에 $\{x \in \mathbb R^2: r_n < |x| \le r_{n-1}\}$. 그럼$A$ 원점을 중심으로 한 '파이 조각' $\mathbb R^2$, 각도 포함 $\alpha$코너에서. 그때$\theta^{-1}(A)$ 밀도가있는 세트가됩니다. $\alpha/(4\pi)$ ...에서 $0$.

이것은 밀도를 줄 것입니다 $0 \le t \le \frac12$. 얻기 위해$\frac12 < t \le 1$, 간단히 추가 $(-\infty,0]$.