2 축 (예 : 지구)을 중심으로 회전하는 물체의 총 각운동량을 계산합니다.

첫째, 지구의 회전이 궤도 축과 각도를 이루고 있음을 고려하십시오.

여기 $$\begin{array}{r|c|c|c}\\ \text{Quantity} & \text{Symbol} & \text{Value} & \text{Units} \\ \hline \text{orbital distance} & R & 1 & \text{AU} \\ & & 1.496\cdot 10^{11} & \text{m} \\ \text{orbital speed} & \Omega & 1 & \text{rev/year} \\ & & 1.991\cdot 10^{-7} & \text{rad/s} \\ \text{spin} & \omega & 1 & \text{rev/day} \\ & & 7.2921\cdot 10^{-5} & \text{rad/s} \\ \text{axial tilt} & \theta & 23.4 & \deg \\ & & 0.4084 & \text{rad} \end{array}$$

결합 된 회전 ( 위에서 음의 x 축 에 대한 제목이 주어짐 )은 다음과 같습니다.

$$ \vec{w} = \pmatrix{0 \\ 0 \\ 1.991 \cdot 10^{-7}} + \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & \sin \theta \\ 0 & -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \pmatrix{0\\0\\7.2921 \cdot 10^{-5} } = \pmatrix{0 \\ 2.8961\cdot 10^{-5} \\ 6.7123\cdot 10^{-5} }\; \text{[rad/s]} $$

번역 될 수있는

$$ \vec{w} = \pmatrix{0 \\ 5.9735 \\ 13.845 } \; \text{[deg/hr]}$$

흥미로운 점은 지구를 기준으로 지구의 회전 중심을 계산할 수 있다는 것입니다. $(c_y,c_z)$ ($c_z$아래에 음수로 표시됨). 이것은 지구가 실제로 회전하는 지점입니다.

지점을 찾으려면 궤도 속도를 계산하십시오 (양의 x 축이 페이지 밖에 있음)

$$ \vec{v} = \vec{\Omega} \times \pmatrix{0\\-R\\0} = \pmatrix{ 2.9785\cdot 10^{4} \\ 0 \\0} \;\text{[m/s]}$$

그리고 회전 중심

$$ \pmatrix{ 0 \\ c_y \\ -c_z} = \frac{ \vec{w} \times \vec{v}}{ \| \vec{w} \|^2} = \pmatrix{0 \\ 3.7410\cdot 10^{8} \\ -1.6141\cdot 10^{8} }\;\text{[m]} $$

달의 거리 단위를 고려하면 흥미 롭습니다 (1 LD = 384402000 m )

$$ \pmatrix{ 0 \\ c_y \\ -c_z} = \pmatrix{ 0 \\ 0.9732 \\ -0.4199 }\;\text{[LD]} $$

이것은 항상 태양을 향한 거의 1 LD이고,하지에 지구 아래에서 절반 LD, 동지에 지구에서 절반 LD입니다.

이제 지구의 운동학이 확립되었으므로 역학에 대해 이야기 할 수 있습니다.

지구는 $\vec{w}$ 그래서 지구 중심에서의 각운동량은 $$\vec{L}_E = \mathrm{I}_E\, \vec{w}$$ 어디 ${\rm I}_E$ 지구의 질량 관성 모멘트입니다.

하지만 지구도 이동하고 있기 때문에 선형 운동량이 있습니다 $$ \vec{p} = m_E \vec{v}$$.

태양에 대한 지구의 각운동량을 계산하기 위해 두 양을 다음 규칙과 결합합니다.

$$ \vec{L}_S = \vec{L}_E + \pmatrix{0\\-R\\0} \times \vec{p} $$

계산을하면 z 축을 따라 각운동량의 대부분을 찾을 수 있고 y 축을 따라 작은 구성 요소를 찾을 수 있습니다.

흥미로운 점은 지구의 충격 축이 통과하는 공간의 위치를 ​​찾을 수 있다는 것입니다. 위와 비슷한 방식으로이 점은

$$ \pmatrix{0\\h_y\\h_z} = \frac{ \vec{p} \times \vec{L}_E}{ \| \vec{p} \|^2} $$

공간에서이 지점의 중요성은 동일하고 반대되는 모멘텀을 적용한다면 $\vec{p}$타악기의 중심을 통해 지구에 도달하면 지구는 궤도를 멈출뿐만 아니라 회전도 멈 춥니 다 . 이 지점을 통해 한 번의 임펄스로 지구의 모든 운동 에너지를 제거 할 수 있습니다. 그것은 궤도에서 지구를 멈출 것입니다.

놀랍게도 두 각속도를 더하는 규칙은 "이러한 각속도의 축"이 물체를 통과하는지 여부와 교차하는지 여부에 의존하지 않습니다.

바디의 각속도는 선택한 관성 기준 프레임에 의존하지 않습니다. 몸통에 화살이 붙어 있다고합시다. 순간$t_0$ 이 화살표는 먼 별을 가리 켰습니다. $A$; 순간$t_1$ 이 화살표는 다른 먼 별을 가리 켰습니다. $B$-음, 그것이 사실이라면, 모든 관성 기준 프레임에서 사실보다. 그리고 몸체의 방향이 얼마나 빨리 변하는 지-기준 프레임에 의존하지 않습니다 (기준 프레임이 관성 인 한).

이제 지구의 총 각속도를 측정 해 봅시다. 먼저 지구 속도가 0이되도록 태양에 부착되고 회전하는 기준 프레임에서 측정하는 것이 가능합니다. 이 기준 프레임에서 지구의 각속도가$\vec\omega$. 기준 프레임의 각속도는 다음과 같습니다.$\vec\Omega$, 그래서 지구의 총 각속도는 $\vec\omega + \vec\Omega$. 그것은 극지 별을 향하는 벡터이며, 크기는 대략$1/86164sec$ -여기서 86164는 항성일의 초 수, 즉 먼 별에 대한 지구의 자전 기간입니다.

이제 질문의 두 번째 부분으로 넘어가겠습니다. "지금까지 본 모든 교과서 / 웹 페이지에서 태양 궤도를 도는 데 따른 각운동량이 자체 축을 중심으로 한 지구 회전으로 인해 각운동량과 별도로 계산되는 것을 보았습니다. "

이번에는 기준 프레임이 태양에 부착되고 관성입니다. 이 기준 프레임에서 지구의 총 각운동량을 계산하는 "공정한"방법은 지구를 여러 개의 작은 부분으로 분할하고 각 부분의 운동량을 계산하고 결과를 요약하는 것입니다. 더 쉬운 방법은 마치 모든 질량이 질량 중심에있는 것처럼 지구의 운동량을 계산하고이 두 벡터를 더하는 것보다 지구의 질량 중심 주위의 운동량을 계산하는 것입니다. 전체 결과는 같을 것입니다-간단한 수학적 정리입니다.

축을 중심으로 한 지구 자전으로 인한 운동량은 태양을 중심으로 한 지구 자전으로 인한 운동량보다 훨씬 작습니다. 더 중요한 것은 총 Erath의 운동량 (즉,이 두 벡터의 합)이 시간상 일정 할뿐만 아니라 이러한 구성 요소 각각이 자체적으로 일정하다는 것입니다! (우리는 달과 다른 행성의 영향을 무시합니다). 따라서 지구 속도가 태양까지의 거리 (케플러의 법칙)에 의존하는 방법에 대한 세부 정보를 계산하려면 지구 각운동량의 "자신의 축을 중심으로 회전"부분을 무시해도됩니다.