3 개의 동일한 빨간색 공과 3 개의 동일한 흰색 공을 3 개의 별개의 상자 사이에 분배 할 수있는 방법은 몇 가지입니까? 상자가 비어 있지 않습니까?
제목에서 언급했듯이 3 개의 동일한 빨간색 공과 3 개의 동일한 흰색 공이 3 개의 별개의 상자 사이에 분포되어 상자가 비어 있지 않도록하는 방법의 수 를 계산 해야합니다 .
몇 가지 유사한 질문이 있지만이 특정 질문에 완전히 대답하는 것은 없습니다 (내 지식에 따라).
몇 가지 사례를 만들어서 접근하려고했지만 실제로 작동하게되었습니다. 그러나 나는 한 유형의 동일한 객체 n 개와 다른 유형의 동일한 객체 m 개에 대한 일반적인 접근법을 만들 수 없었습니다.
답변
처음에는 $6$흰색 공. 우리는 가질 수 있습니다$\{4,1,1\}$, $\{3,2,1\}$, 또는 $\{2,2,2\}$ 상자에 공, $3$, $6$, $1$세 가지 경우에 다른 순서. 이제 6 개의 공 중 3 개를 빨간색으로 칠합니다. 에서$\{4,1,1\}$ 세 가지를 칠할 수있는 경우 $4$ 빨간색 ($1$ 방법), 두 $4$ 빨간색 ($2$ 방법), 또는 $4$ 빨간색 ($1$방법); 만든다$4$방법. 에서$\{3,2,1\}$ 세 가지를 모두 칠할 수있는 경우 $3$ 빨간색 ($1$ 방법), 세 개의 빨간색 중 두 개 ($2$ 방법), 중 하나 $3$ 빨간색 ($2$ 방법) 또는 $3$ 빨간색 ($1$방법); 만든다$6$방법. 에서$\{2,2,2\}$ 우리가 만들 수있는 경우 $2$ 과 $1$ 다른 상자에 빨간 공 ($6$ 방법) 또는 각 상자에 하나의 빨간 공 ($1$방법); 만든다$7$ 방법.
전체적으로 $$3\cdot 4+6\cdot 6+1\cdot 7=55$$ 다른 허용 가능한 배포.
사례 A. 첫 번째 상자에 4 개의 공.
- 상자에는 빨간색 공 3 개와 흰색 공 1 개 또는 흰색 공 3 개와 빨간색 공 1 개가 있습니다. 이것은 두 번째 및 세 번째 상자에 대해 정확히 하나의 배열을 의미합니다. 소계 : 순열 2 개
- 상자에는 2 개의 빨간 공과 2 개의 흰색 공이 있습니다. 이것은 두 번째 및 세 번째 상자에 대해 두 가지 가능한 배열을 의미합니다. 소계 : 순열 2 개 합계 : 순열
4 개
사례 B. 첫 번째 상자에 3 개의 공.
- 빨간색 3 개 또는 흰색 3 개. 이것은 다른 상자에 두 개의 배열을 의미합니다. 소계 : 4 순열
- 빨간색 2 개 + 흰색 1 개 또는 빨간색 1 개 + 흰색 2 개. 이것은 다른 상자에 4 개의 가능한 배열을 의미합니다. 소계 : 8 개의 순열
합계 : 12 개의 순열
사례 C. 첫 번째 상자에 공 2 개.
- 빨간색 2 개 또는 흰색 2 개. 이것은 다른 상자에 6 개의 가능한 배열을 의미합니다. 소계 : 12 순열
- 빨간색 1 개 및 흰색 1 개. 이것은 다른 상자에서 7 개의 가능한 배열을 의미합니다. 소계 : 7 개의 순열
합계 : 19 개의 순열
케이스 D. 첫 번째 상자에 공 1 개. 단방향 : 빨간색 1 개 또는 흰색 1 개. 이것은 다른 상자에서 10 개의 가능한 배열을 의미합니다.
합계 : 20 개 순열
결론 : 4 + 12 + 19 + 20 = 55가능한 순열.