아벨 범주의 주입성에 대한 '설정된 크기'기준
주입 대상을 감지하려면 $R-\mathbf{Mod}$, Baer의 기준에 따라 설정된 크기 의 개체 컬렉션 만 테스트하는 것으로 충분합니다 . 임의의 아벨 범주에 대해이를 어떻게 수행합니까? Stacks 프로젝트에 따르면 주입 제가 충분한 아벨 카테고리에 대해 원하는 세트 크기의 개체 컬렉션을 포함하여 충분한 주입이있는 작은 아벨 전체 하위 카테고리를 찾을 수 있으므로 포함 함수가 정확하고 주입 물을 보존 및 반영합니다. 나는 일반적인 세트 크기의 주입 기준을 찾지 않고 이것을 달성하는 방법을 생각해 냈습니다. 원하는 카테고리는 일반적으로 중간 단계를 거쳐 구성됩니다.$X_0, X_1, \ldots$그리고 노조를 취합니다. 각 단계마다$X_n$, 비 주사 대상의 비 주사에 대한 증인을 추가 할 수 있습니다. $X_n$ 다음 단계로 $X_{n + 1}$. 이 외에도 일반적인 세트 크기 주입 기준이 있습니까? 처음에는 증인을 추가하지 않고 포함시킬 수 있습니다.
답변
일반적으로 주 입성을 테스트하는 데 충분한 객체 세트는 없습니다.
허락하다 $\mathcal{C}$서수 세트에서만 0이 아닌 아벨 그룹에 이르는 함수의 범주입니다. 즉, 객체$F$ 아벨 그룹을 할당 $F(\alpha)$ 각 서수에 $\alpha$ 및 동형 $f_{\alpha,\beta}:F(\alpha)\to F(\beta)$ 각 서수 쌍에 대해 $\alpha\leq\beta$ 그런 $f_{\beta,\gamma}f_{\alpha,\beta}=f_{\alpha,\gamma}$ 할때는 언제나 $\alpha\leq\beta\leq\gamma$, 그리고 일부가 $\alpha$ 그런 $\beta\geq\alpha\Rightarrow F(\beta)=0$. 그리고 형태$F\to G$ 동형의 모음입니다 $F(\alpha)\to G(\alpha)$ 명백한 사각형이 통근하도록.
그때 $\mathcal{C}$ 아벨 카테고리입니다 (언제에 대한 제한으로 인해 $F(\alpha)\neq0$).
펑터가 $S_{\alpha}$, 어디 $S_{\alpha}(\alpha)=\mathbb{Z}$ 과 $S_{\alpha}(\beta)=0$ ...에 대한 $\beta\neq\alpha$, 주사가 아닙니다. 하지만 세트를 선택하면$\mathcal{F}$ 객체의 일부 서 수가 있습니다. $\alpha$ 그런 $F(\beta)=0$ 모든 $F\in\mathcal{F}$ 그리고 모든 $\beta\geq\alpha$. 따라서 0이 아닌 형태가 없습니다.$F\to S_{\alpha}$ ...에 대한 $F\in\mathcal{F}$, 그래서 사실 $S_{\alpha}$ 주 사형이 아닙니다. $\mathcal{F}$.
위의 예를 게시 한 후 위의 카테고리보다 덜 인위적인 카테고리를 포함하는 다소 흥미로운 관련 결과에 대해들은 것을 기억했습니다.
이 글은 보조 정리 2.5에서 다음과 Šaroch 및 Trlifaj의 최근 논문 의 경우 그$R$ 불완전한 고리라면 ZFC (집합 이론의 일반적인 공리)와 무관합니다. $R$-모듈 투 영성을 테스트하기에 충분한 에피 모피 즘 세트가 있습니다. [사실, 이것은 Trlifaj의 훨씬 이전 논문에서 입증되었지만 제가 링크 한 논문의 진술은 덜 기술적입니다.]
이것은 아벨 그룹 범주의 반대 범주가 OP!의 질문에 대답하는지 여부가 ZFC와 무관하다는 것을 의미합니다!