아벨 품종의 제수는 어떤 체계입니까?
허락하다 $X$ 대수적으로 닫힌 필드에 대해 부드럽고 투사적인 눈에 띄는 계획이어야합니다. $k$. 아벨 품종이 언제 존재하는지 이해하려고 노력 중입니다$A$ 그런 $X$ 의 소수와 동형 $A$.
물론 몇 가지 간단한 경우가 있습니다. 만약$X$ 0 차원, 즉 점, 타원 곡선의 동일성에 대해 동형입니다. $E$ 위에 $k$, 따라서 그것은 $E$. 만약$X$ 속이다 $1$, 다음을 선택하면 $k$-포인트, 다음 $X$타원 곡선입니다. 그때$X$ 대각선과 동형 $\Delta\subset X\times X$, 제수입니다. 이후$X$ 타원 곡선입니다. $X\times X$또한 아벨 품종입니다. 만약$X$ 속의 곡선이다 $2$, 다음의 야 코비 행렬 $X$ 2 차원이므로 $X$ 동일 차원 1이므로 임베딩 $X\rightarrow \text{Jac}(X)$ 식별 할 수 있습니다 $X$ 약수로 $\text{Jac}(X)$.
그러나 이러한 간단한 경우는 일반적인 경우에 대한 아이디어를 제공하지 않습니다. Jacobian은 속에서만 작동합니다.$2$케이스 등. Albanse Variety도 도움이되지 않습니다. codimension이 클 수 있기 때문입니다. abelian 품종의 제수가 아닌 대수적으로 닫힌 필드에 대해 부드럽고 투영적인 ireducible 계획에 대한 반례가 있습니까?
답변
2보다 큰 속의 곡선, Jacobian $J$간단합니다. 아벨 표면의 제수라면$S$, 그러면 추측이있을 것입니다. $J\to S$ 양의 차원 커널로, 단순성에 모순 $J$. 2보다 큰 속의 대부분의 곡선은이 속성을 가지고 있습니다. 무작위로 선택한 예는$y^3 = x^4 - x$.
반례의 명백한 부류는 독단적 인 품종입니다. 사실, 아벨 품종에는 합리적인 곡선이 없습니다.
더 일반적으로, 같은 이유로 $X$ (아마도 특이한) 유리 곡선을 포함하는 모든 대수적 다양성입니다. $X$ 아벨 품종의 하위 변형이 아닙니다. 특히 거기에 제수가 아닙니다.
약간 다른 맛의 Albanese를 사용한 또 다른 답변이 있습니다. 허락하다$X$ 있다 $n$-차원 및 가정 $h^0(X,\Omega^1_X)<n$. 그런 다음 모든지도$X\rightarrow A$ 어디 $A$ 알바 네즈를 통한 아벨의 다양한 요인으로, 차원이 $n$, 그래서 $X$아벨 품종에 대한 제수가 될 수 없습니다. 예를 들어 단순히 연결된 다양성을 취할 수 있습니다. 물론이야,$\mathbb{P}^1$ 트릭을 수행합니다.
저는 "adjunction + translation"이 우리에게 꽤 많은 것을 알려준다는 점을 지적하고 싶습니다.
허락하다 $A$ abelian 다양성, 말하자면 차원 $n>1$ 그리고하자 $D \subset A$제수 (부드럽다 고합시다)가 되십시오. 이후$\omega_A = \mathcal{O}_A$, 부가 공식 $$ \omega_D = \omega_A(D)|_D = \mathcal{O}(D)|_D, $$ 정상적인 번들 $D$. 번역 작업을 차별화하여$A$, 0이 아닌 전역 섹션을 얻을 수 있습니다. $0 \neq \sigma \in H^0(D,\omega_D)$,이 경우 권한 $\sigma^d$ 보여 주다 $H^0(D, \omega_D^d) \neq 0$ 모든 $d>0$. 이것은$D$ 음수가 아닌 Kodaira 차원이 있습니다. $\kappa(D) \geq 0$.
비고 :$D$ 독단적 인 $\implies$ $H^0(D, \omega_D^d)=0$ 모든 $d > 0$ (그리고 그 반대는 추측입니다) 따라서 위의 내용은 Polizzi의 관찰에 대한 정교화입니다. $D$ 독단적 일 수 없습니다.