알아 내기 $n$ 과 $d$ 그래서 $U_d(n)$ 세트가 주어집니다.
이것은 내가 이전에 게시 한이 글과 관련된 글 입니다. 이 게시물에서는 문제가 너무 잘 해결되었지만 현재 상황에서 동일한 아이디어를 활용할 수 없습니다.
가정 $n$ 양의 정수이고 $d$양의 제수입니다. 만약$U(n)$ 다음보다 작거나 같은 모든 양의 정수 모음 $n$ 그리고 coprime $n$ 과 $$U_d(n)=\{x\in \mathbb{N}: x\equiv 1\pmod{d}\}$$ 찾는 방법 $n,d$ 그런 $$U_d(n)=\{1,13,25,37\}$$ 보유할까요?
분명히 여기 $d$ gcd의 제수 $1-1,13-1,25-1,37-1$ 즉 $12$. 그래서$d=1,2,3,4,6,12$. 보여주는 방법$d$ 이다 $12$뿐? 위의 문제에는 1과 7의 두 값만있었습니다. 그러나 여기서 우리는 합성 제수도 얻습니다.
그것을 보여 주면, 찾는 방법 $n$ 그때?
기본적으로 일반적인 접근 방식을 찾고있는 것입니다. 누군가 나를 도울 수 있습니까?
포스트 작업
힌트와 제안을받은 후 (Erik Wong과 cgss 덕분에)이 문제를 최대한 해결하려고 노력하고 있습니다.
Erik의 대답으로, 이제 나는 이유를 이해합니다. $d=12$뿐. 따라서$U_d(n)$ 지금된다 $U_{12}(n)$. 게다가,$12$ 나눠야한다 $n$ 과 $n>37$ 및 각 구성원 $U_{12}(n)$ 형식이어야합니다. $12k+1$. 하나$25\in U_{12}(n)$ 즉 $25\in U(n)$ 그래서 $(25,n)=1$ 암시 $(5,n)=1$. 그러므로$n$ 5 개 무료 여야합니다.
우리는 다음을 고려합니다. $$n=2^{a_1}3^{a_2}.m$$ 어디 $a_1\geqslant 2, a_2\geqslant 1, m\in \mathbb{N}$ 와 $(2.3.5, m)=1$. 그때$$U_{12}(n)\simeq U\left(\frac{n}{12}\right)=U(2^{a_1-2}3^{a_2-1}m)$$ iff $(12, \frac{n}{12})=1$. 이것은$a_1-2=0, a_2-1=0$ 즉 $a_1=2, a_2=1$ 그래서 $n$ 감소하다 $n=2^2 3^1 m$.
따라서 \begin{align*} &|U_{12}(n)|=|U(2^0 3^0 m)|\\ \Rightarrow &4=\varphi(m) \end{align*}
[실제 답변은 $n=48, d=12$. 이제 우리는$m=1$위의 방정식에서. 솔루션$\varphi(m)=4$ 아르 $m\in \{5,8,10,12\}$ 하지만 여기서 어떻게 보여줄 수 있습니까? $m=1$?]
답변
나는 가정하지 않고 훨씬 더 긴 답변을 게시했습니다. $d \mid n$, 상당한 수의 솔루션을 인정합니다. 이 제약을 이용하면 상당한 양의 구조를 얻을 수 있습니다.$U_d(n)$ 단위 그룹의 하위 그룹입니다. $(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times$.
이후 $U_d(n)$ 4 개의 요소가 있고 모든 요소는 순서 분할이 있습니다. $4$. 그 후$n$ 둘 다 나눠야한다 $13^4 - 1$ 과 $25^4 - 1$, gcd는 48입니다. $n \ge 37$, 정확히 $48$. 우리는 쉽게 결론을 내릴 수 있습니다.$d=12$ 일단 우리가 알면 $n$.
먼저 우리는 더 작은 값을 배제하려고 노력할 것입니다. $d$. 그들은 각각 두 범주 중 하나에 속합니다.$d \mid 4$ 과 $d \mid 6$ (이 두 가지 경우는 $12$).
가정 $d \mid 4$: 다음 사실 $U_d(n)$ 포함하지 않습니다 $5$ 왜냐하면 $n$ 나눌 수있다 $5$, 그러나 이것은 모순됩니다 $25 \in U_d(n)$.
가정 $d \mid 6$: 다음 사실 $U_d(n)$ 포함하지 않습니다 $7, 19, 31$ 왜냐하면 $n$모든 소수로 나눌 수 있습니다. 하지만$n > 169 = 13^2$, 그래서 피하기 위해 $U_d(n)$ 포함 $169$ 우리는 필요하다 $n$ 나눌 수있는 $13$, 모순 $13 \in U_d(n)$.
이제 우리는 확신합니다 $d=12$, 유효한 선택 항목이 많이 있습니다. $n$, 그리고 일정량의 케이스 확인은 불가피합니다. 첫째, 범위에서$37 \le n < 49$, 모든 값 $n$ 제외 소수로 나눌 수있는 것을 제외하고는 작동해야합니다. $5,13,37$.
값을 확인하면 $n \ge 49$, 우리는 $7 \mid n$. 까지$n < 61$, 이것만으로도 $12k+1$ 번호 $49$ 문제가 발생합니다.
후 $n \ge 61$, 우리는 $7 \cdot 61 \mid n$. 하지만이 힘은$n \ge 169$, 그리고 위와 같이 우리는 이것이 불가능하다는 것을 알고 있습니다. $13 \in U_d(n)$.
이 주장의 두 부분에서 일반적인 원칙 (격리 $d$ 그리고 $n$)는 비공 초성으로 인한 제외가 다음에 대해 더 크고 더 큰 하한을 산출하는 경향이 있다는 것입니다. $n$, 그리고 결국 강제 $[1,n]$ 우리가 알고있는 소수로만 구성된 숫자를 포함합니다.