아래의 매끄러운 매니 폴드 정의 중 어느 부분이 경계를 포함하는 매니 폴드의 가능성을 배제합니까?
이 질문은 왜 매니 폴드가 경계를 포함 할 수 없는지에 대한 것입니다. 저는 Adams와 Essex Calculus 2의 미분 형태와 다양체에 대해 읽고 있습니다.
내가 읽고 책에 언급 된대로
매니 폴드 $M$ 에 $\mathbb{R}^n$ 자체에는 경계 지점이 포함되지 않습니다. ....
그러나 책에서 부드러운 다양체의 정의 (이는 소개 텍스트이므로 가장 일반적이지 않음)는 다음과 같이 읽습니다 (약간 생략 됨).
하위 집합 $M$ 의 $\mathbb{R}^n$ 차원의 k- 다양체 $k\leq n$ 매번 $\mathbf{x} \in M$ 열린 세트가 있습니다 $U \subset \mathbb{R}^n$, 포함 $\mathbf{x}$ 부드러운 기능 $\mathbf{f}:U\rightarrow \mathbb{R}^{n-k}$: 다음 두 조건이 유지되도록 : i) U에서 M의 부분은 방정식에 의해 지정됩니다. $\mathbf{\mathbf{f}(\mathbf{x})} = \mathbf{0}$, ii) 선형 변환 $\mathbb{R}^{n}$ 으로 $\mathbb{R}^{n-k}$ Jacobian에 의해 주어진 $\mathbf{f}$ 에있다 $\mathbb{R}^{n-k}$.
내가 이해하지 못하는 것은 이 정의의 어떤 부분이 경계를 포함하는 다양한 가능성을 배제한다는 것입니다 .
예를 들어, 다양한 $M$ 정의 할 수 있습니다 $M = \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 | y=x^2 \wedge 0 \leq x \leq 1\} $. 그럼 우리는$f = y-x^2$. 그런 다음$(x,y)$ 에 $M$ 작은 디스크 ($U$) 주위에 $(x,y)$ 매핑 될 $\mathbb{R}$ 으로 $f$,의 일부 $M$ 디스크 내부는 다음과 같이 지정됩니다. $\mathbf{f}=0$및 Jacobian $\begin{bmatrix}-2x & 1\end{bmatrix}$ 에있다 $\mathbb{R}$.
나에게는 모든 것이 좋은 것 같지만 요점은 $(0,0)$, $(1,0)$경계점 인 것 같습니다. 내가 어디로 잘못 가고 있습니까?
답변
문장에서
의 일부 $M$ 에 $U$ 방정식에 의해 지정됩니다 $f(x)=0$,
다음과 같이 이해되어야합니다. $$\tag{1} M\cap U = \{(x, y) \in U | f(x, y) =0\},$$ 그냥 대신 $$\tag{2} M\cap U \subset \{(x, y) \in U | f(x, y) =0\}.$$
귀하의 예에서 $M, f$. 허락하다$\mathbf x = (1,1)$ 과 $U$ 공개 세트 $$U = \{ (x, y)\in \mathbb R^2 : x\in (0.5, 1.5), |x^2-y|<1\}.$$
그때 $$ \{(x, y) \in U : f(x, y) = 0\} = \{ (x, y)\in U: x^2= y\}$$ 엄격하게 포함 $$U\cap M = \{ (x, y) \in U | x^2=y,\ \text{ and } x\in (0.5, 1]\}.$$
따라서 문장이 평등으로 이해되어야하기 때문에 귀하의 예는 다양하지 않습니다.
이것이 올바른 해석이어야한다는 것을 명확히보기 위해 : 평등 (1) 대신 포함 (2) 만 필요하면 모든 하위 집합 $X$ 안에있는 $\mathbb R\times \{0\} $ 될 것이다 $1$-다양체 :하자 $X \subset \mathbb R\times \{0\} \subset \mathbb R^2$하위 집합이어야합니다. 그런 다음$f(x, y) = x$, (2) 만족하므로 $X$ (2) 만 가정하면 "다양체"가됩니다.
열린 하위 집합의 동종 차트가 필요합니다. $\mathbb R$ 하위 집합 열기 $M$. 그러나 공개 된 하위 집합에는 그러한 차트가 없습니다.$M$열린 선 요소가 반쯤 닫힌 (또는 닫힌) 선 요소에 대해 동종이 아니기 때문에 경계 점을 포함합니다. 이것은 이미 제외$M$ 매끄러운 것은 말할 것도없고 토폴로지 매니 폴드에서.