안정된 평형 점에 대한 진동 주파수 계산
입자가 있다고 가정합니다. $m$ 1 차원으로 이동 $U(x) = -Ax + Bx^2$위치 에너지를 설명합니다. 안정적인 평형 점 주변의 작은 진동 주파수를 어떻게 계산할 수 있는지 알아 내려고합니다.
첫째, 안정된 평형은 $U'(x) = -A + 2Bx=0$. 그 후$x_{eq} = \frac{A}{2B}$. 저는 단순한 조화 운동으로 시스템을 모델링하려고합니다.$U(x_{eq}) = \frac{1}{2}kx_{eq}^2$. 나는 격리 할 것이다$k$:
$$-Ax_{eq} + Bx_{eq}^2 = \frac{1}{2}kx_{eq}^2$$ $$-A + Bx_{eq} = \frac{1}{2}kx_{eq}$$ $$k = \frac{-2A + 2Bx_{eq}}{x_{eq}} \rightarrow k = -2B$$
이것으로부터 주파수 공식을 적용하고 있습니다. $f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{2B}{m}}$. 이것이 유효한 솔루션입니까?
답변
나는 당신의 방법이 작동하는 이유를 모르겠다 고 말하는 것이 조금 당황 스럽지만 올바른 답을주는 것 같습니다. 평형 에너지를 다음과 같게 할 때 문제가 있다고 확신합니다.$\frac{1}{2} k x_\text{eq}^2$,하지만 잘 표현할 수 없습니다.
(주어진 잠재력에 대해) 약간 더 나은 방법 은 사각형 을 완성하는 것 입니다. 이렇게하면 위치 에너지가 다음과 같이 쓸 수 있음을 알 수 있습니다.
$$U(x) = B\left(x - \frac{A}{2B}\right)^2 - \frac{A^2}{4B},$$
이것은 기본적으로 다음과 같은 형식임을 쉽게 알 수 있습니다.
$$U(x) = \frac{1}{2}k (x-x_\text{eq})^2 + U_0,$$
어디 $U_0$ 주어진 값에 대한 상수입니다. $A$ 과 $B$. 일정한 위치 에너지의 추가는 운동 방정식을 변경하지 않으므로 이는 최소 에너지가 다음과 같은 평형 점에 대한 조화 진동자 진동입니다.$U_0$, "스프링 상수"는 $k=2B$, 당신이 찾은대로.
지금까지 두 가지 방법 모두 동일한 답을 제공합니다. 그러나 잠재력을 고려하면$U(x) = -A x + B x^2 + C$, 어디 $C$일정하지 않으면 동의하지 않는다는 것을 알 수 있습니다. 물론 상수$C$ 빈도를 변경해서는 안되므로 방법이 정확하지 않을 수 있습니다.
일반적인 잠재력을 위해하기
더 흥미로운 질문은 일반적으로 이것을 어떻게 할 수 있는지 입니다. 임의의 기능이 있다고 가정하십시오.$U(x)$(내가 아래에 그린 3 차 함수를 말하십시오) 최소 주변 의 작은 진동 의 주파수를 어떻게 계산할 수 있습니까?
이 방법은 실제로 아주 좋습니다. (나는 이것을 함수로 설명 할 것입니다.$U(x) = A x + B x^2 + C x^3$, 모든 기능에서 작동합니다.)
먼저 표준 방법을 사용하여 원하는 (로컬) 최소값을 찾으십시오. 제 경우에는 포인트입니다$$x_0 = -\frac{2 B}{3 C}.$$
다음으로, 이 평형 점에 대해 2 차까지 테일러 확장을 수행합니다 . 포인트에 대한 확장$x_0$ 따라서
$$U(x) = U(x_0) + U'(x_0) (x - x_0) + \frac{U''(x_0)}{2!} (x-x_0)^2 + \text{ higher powers of } (x-x_0)\,\,...$$
최소한으로 확장 할 것이기 때문에 $U'(x_0)$ 0이고 $U''(x_0)>0$, 따라서 기본적으로해야 할 일은 $U(x)$ ...에서 $x_0$. 이 양식이 의미하는 바는$x_0$ 함수 $U(x)$상수와 2 차 항으로 작동합니다. 즉, 최소에 가까워서 고조파 발진기의 위치 에너지처럼 보입니다! (물론 이것은 매우 작은 진동에만 해당됩니다.$x-x_0$ 매우 작습니다.)
마지막 단계는 기능에 대한 근사치를 계산했기 때문에 $x_0$ 같이 $$U(x) = U(x_0) + \frac{1}{2}U''(x_0) (x-x_0)^2,$$
이상적인 고조파 발진기와 비교할 수 있으며 앞에서 설명한 것처럼 "스프링 상수"가 다음과 같이 주어진다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. $$k = U''(x_0)!$$
이것은 지점에 매우 가깝다는 것을 의미합니다. $x_0$,이 시스템은이 스프링 상수를 사용하는 고조파 발진기와 매우 유사하게 작동합니다. 내가 찍은 예에서 이것은 (기묘하게)$k = 2 B$다시. 예를 들어서도 시도해 볼 수 있습니다.
처음에는 이해하기가 약간 혼란스러워 보일 수 있지만, 임의의 최소 잠재력에 대한 발진 주파수를 신속하게 찾을 수있는 매우 깔끔한 방법을 제공한다는 데 동의 하시길 바랍니다.