발견 $f(x,y)$ 접평면 방정식을 만족하는

Question

Q : 함수의 예를 들어주세요 $f(x,y)$ 다음을 충족하는 연속 편미분 :

1. $z=f(x,y)$ 비행기가 아니다
2. $z=f(x,y)$ 포인트를 통과 $(6,4,3)$
3. 표면에 접하는 평면 $z=f(x,y)$ 그 시점에 $(6,4,3)$ 이다 $$ -4(x-6) +1(y-4) +z -3 = 0 \\~\\ $$

내 생각 : 탄젠트 평면 방정식을 보면 다음과 같은 것을 알 수 있습니다. $$ G(x) = f(x,y) -z \\ ~\\ \nabla G(6,4,3) = (-4,1,1) $$ 그리고 나는 그것보다 더 나아가는 방법을 모릅니다. 수많은 무작위 옵션에 대해 생각할 수 있지만이 문제를 해결하는 방법은 무엇입니까?

Answer 1

대수 기하학에서 나는 하나 (또는 ​​두 개)의 다항식 (들)에 의해 암시 적으로 주어진 다양성의 접선 (또는 선)을 찾기위한 접선 원뿔 전략에 익숙합니다. 가장 간단한 형태로이 방법은 점 주위에 다항식을 작성 (또는 원점으로 변환)하고 거기에서 다항식을 조사하는 것과 같습니다. 당신의 요점이 다양성 (읽기 표면)에 있다면 상수 기간이 사라집니다. 선형 항의 0 세트는 접평면 등을 제공합니다. 이것의 반전은 접평면이있는 경우 점 주위에 더 높은 차수 항을 추가하여이 평면을 접평면으로 갖는 표면을 얻을 수 있다는 것입니다. 그리고 더 높은 순서의 용어를 추가하지 않으면$(z-3)$ 여전히 다항식으로 표현할 수 있습니다. $z=f(x,y).$

질문에 답하는 더 간단한 방법 중 하나는

$$(x-6)^2+(y-4)^2-4(x-6) +1(y-4) +1(z-3) = 0.$$