발견 $\lim_{x \to \infty} (x + \frac{2x^{3}}{3} - \frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3})$

Question

$\lim_{x \to \infty} (x + \frac{2x^{3}}{3} - \frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3})$ wolframalpha에 따른이 한계는 다음과 같습니다. $0$.

그래서 이것은 지금까지 내 작업입니다

$\lim_{x \to \infty} (x + \frac{2x^{3}}{3} - \frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3})$ 출력은 $\infty - \infty$ 불확실한 형태입니다.

다음으로 저는 기본적으로 동일한 분모에 있습니다. $\frac{1}{3}$ $((3x + 2x^3 - 2(x^2+1)^{\frac{3}{2}})$ 그리고 돌았 다 $2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}$ 작업하기 더 쉬운 것으로 $2\sqrt{x^2+1}+2x^{2}\sqrt{x^2+1}$

이제 한계는 $\frac{1}{3} \lim_{x \to \infty} ((3x + 2x^3-2\sqrt{x^2+1} -2x^{2}\sqrt{x^2+1})$ 그리고 이것은 내가 다음에 할 일을 잃어버린 곳입니다.

Answer 1

$$x + \frac{2x^{3}}{3} - \frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3}=\frac{\left(x+\frac{2}{3}x^3\right)^2-\frac{4}{9}(x^2+1)^3}{x + \frac{2x^{3}}{3}+ \frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3}}=$$ $$=\frac{-\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{9}}{x + \frac{2x^{3}}{3}+ \frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3}}=\frac{-\frac{1}{3x}-\frac{4}{9x^3}}{\frac{1}{x^2} + \frac{2}{3}+ \frac{2(1+\frac{1}{x^2})^{\frac{3}{2}}}{3}}\rightarrow0$$ ...에 대한 $x\rightarrow+\infty.$

Answer 2

첫째, 관찰 $$3x+2x^3-2(x^2+1)^{3/2}=\frac{3x^2+4}{-3x-2x^3-2\sqrt{x^2+1}-2x^2\sqrt{x^2+1}}.$$ 상단은 2 차이고 하단은 순서대로 성장합니다. $x^3$, 따라서 한계는 $x\to \infty$ 0입니다.

Answer 3

으로 이항 근사

$$(x^2+1)^{\frac{3}{2}}=(x^2)^{\frac{3}{2}}\left(1+\frac1{x^2}\right)^{\frac{3}{2}} = x^3+\frac32 x +O\left(\frac1{x}\right)\implies \frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3} = \frac{2x^{3}}{3}+x+O\left(\frac1{x}\right)$$

따라서

$$x + \frac{2x^{3}}{3} - \frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3}=O\left(\frac1{x}\right)\to 0$$

Answer 4

힌트:

WLOG $x=\tan y\implies y\to\dfrac\pi2$

$$\dfrac{3\tan y+2\tan^3y-2\sec^3y}3$$

$$=\dfrac{3\sin y\cos^2y+2\sin^3y-2}{3\cos^3y}$$

분자 $$=3(1-\sin^2y)\sin y+2\sin^3y-2=\cdots=(1-\sin y)^2(2\sin y+1)$$

마지막으로 사용 $$\dfrac{1-\sin y}{\cos y}=\dfrac{\cos y}{1+\sin y}$$

Answer 5

당신은 그것을 기억해야 $\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$, 이후 $(c-d)(c+d)=c^2-d^2$. 이것은 제곱근으로 표현을 단순화하는 데 도움이 될 것입니다.

나는 당신이 쓴 것을 어떻게 얻었는지 이해하지 못하지만 내가 볼 수있는 것에서 당신은 얻어야합니다.

$$ x+ \frac{2x^3}{3}-\frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3}=x +\frac{2}{3}\Big( \frac{x^6-(x^2+1)^3}{x^3 +(x^2+1)^{ \frac{3}{2} } } \Big)=x+\frac{2}{3}\frac{-3x^4-3x^2-1}{x^3+(x^2+1)^{ \frac{3}{2} }}$$

Answer 6

$$A=x + \frac{2x^{3}}{3} - \frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3}=x + \frac{2x^{3}}{3} - \frac{2x^3}{3}\left(1+\frac{1}{x^2}\right)^{3/2}$$ 마지막 학기 동안 $\frac{1}{x^2}=\epsilon$ 이항 확장을 사용합니다. $$(1+\epsilon)^{3/2}=1+\frac{3 \epsilon }{2}+\frac{3 \epsilon ^2}{8}+O\left(\epsilon ^3\right)$$ 바꾸다 $\epsilon$ 으로 $\frac{1}{x^2}$ 만들다 $$\left(1+\frac{1}{x^2}\right)^{3/2}=1+\frac{3}{2 x^2}+\frac{3}{8 x^4}+O\left(\frac{1}{x^6}\right)$$ $$A=x + \frac{2x^{3}}{3} - \frac{2(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3}=x + \frac{2x^{3}}{3} - \frac{2x^3}{3}\left(1+\frac{3}{2 x^2}+\frac{3}{8 x^4}+O\left(\frac{1}{x^6}\right)\right)$$ $$A=-\frac{1}{4 x}+O\left(\frac{1}{x^3}\right)$$