발산 시리즈에서 부분 합의 상수 시퀀스

Question

고조파 시리즈에서 우리는 $$|H_{2n}−H_n|\geq \frac{1}{2}$$ 모든 $n$, 이는 발산을 의미합니다. 그러나 부분 합계$n$ ...에 $2n$, 평가 $n$, 같음 $\ln(2)$ 모든 $n$. 이것은 부분 합계의 시퀀스가 ​​값으로 수렴되었음을 의미하지 않습니까?$\ln(2)$, 차례로 시리즈가 수렴해야 함을 의미합니까? 나는 코시 기준과 수렴 등에 대해 근본적인 것을 이해하지 못하는 것 같습니다. 이것은 우리가 간격으로하고있는 재미있는 일들로 인해 부분 합계의 시퀀스가 ​​아닙니까? 당신의 도움을 주셔서 감사합니다.

Answer 1

첫째, 사소한 것 : $n$ ...에 $2n$ 접근하다 $\ln{2}$하지만 실제로는 같지 않습니다. (왜?)

두 번째로, 더 중요한 것은 사실, 여러분이 보여준 것은 부분합의 순서가 $\{ H_n\}$코시가 아니므로 수렴하지 않습니다. 실제로 코시라면 정의상$|H_{2n} - H_n| \to 0$. 이것은 모든$\epsilon > 0$, 존재해야합니다. $N(\epsilon)$ 어떤 $|H_m - H_n| < \epsilon$ 할때는 언제나 $m, n > N(\epsilon)$; 우리는 다음 선택$m = 2n$ 여기.