반 직접 그룹 및 메타 사이클 그룹

Aug 18 2020

허락하다 $G$ 과 $H$ 그룹이되고 $\theta : H \to Aut G$동형. 밝히다$G\times_{\theta}H$ 반 직접 제품이라고합니다. $G$ 과 $H$.

허락하다 $C_{p}=\langle a\rangle$ 과 $C_{q}=\langle b\rangle$ 프라임 오더의 (곱셈) 순환 그룹 $p$ 과 $q$ 각각 그렇게 $p > q$ 과 $q\mid p — 1$.

ㅏ. 지도$\alpha:C_{p}\to C_{p}$ 주어진 $a^{i}\mapsto a^{si}$ automorphism입니다.

비. 지도$\theta:C_{q}\to Aut C_{q }$ 주어진 $\theta(b^{i}) =\alpha^{i}$ ($\alpha$ 부분 (a)에서와 같이)는 동형 ($\alpha^{i} = I_{C_{p}})$.

씨. 우리가 쓰면$a$ ...에 대한 $(a,e)$ 과 $b$ ...에 대한 $(e,b)$, 그룹 $C_{p}\times_{\theta} C_{g}$ 주문 그룹입니다 $pq$, 에 의해 생성 된 $a$ 과 $b$ 관계에 따라 : $|a|=p$, $|b| = q$, $ba = a^{s}b$, 어디 $s\not\equiv 1 (\mod p)$, 및 $s^{q}\equiv 1 (\mod p)$. 그룹$C_{p} \times_{\theta} C_{q}$ 메타 사이 클릭 그룹이라고합니다.

나는 그것을 해결하기 위해 노력했다 을 하기 때문에,$C_{p}=\langle a \rangle=\lbrace a^{p}|\text{$피$ is prime}\rbrace$, 따라서 일부 $s\in \mathbb{Z}$, $(s,p)=1$,이 경우 $\alpha^{s}$ 또한 $C_{p}$, 이제 일부 $m\in \mathbb{Z}$ 함축하다 $s^{m}\equiv1(\mod p)$, 지도 $\alpha:C_{p}\to C_{p}$automorphism을 정의했습니다. 계획된$\alpha^{m}(\alpha^{i})=\alpha^{m-1}(\alpha^{si}) \cdots =\alpha^{s^{m}i}=\alpha^{i}=e$.

들어 B , 내가 정리 \ textit {반다이 크},하지만 난 아니에요 반드시 사용 시도

해결 방법이나 제안 사항을 알고 싶습니다. 감사합니다.

답변

1 rain1 Aug 18 2020 at 03:07

허락하다 $q | p-1$ 과 $C_p = \langle a \rangle$ 과 $C_q = \langle b \rangle$.

반 직접 제품의 경우 $C_p \rtimes_\theta C_q$ 그룹 동형을 정의해야합니다. $\theta : C_q \to \operatorname{Aut}(C_p)$.

우리는 주문 그룹을 가질 것입니다 $pq$ 과 $C_p \lhd C_p \rtimes_\theta C_q$

먼저 $\operatorname{Aut}(C_p)$

$\alpha : C_p \to C_p$

$\alpha(a^i) = a^{si}$

automorphism, 즉 그룹 동형이 $C_p$ ...에 $C_p$, 그것은 또한 bijection 인 그룹 동형입니다.

그룹 동형이라는 것을 보여줄 수 있습니다.

$\alpha(a^i a^j) = a^{s(i+j)}$
$\alpha(a^i)\alpha(a^j) = a^{si}a^{sj}$

그리고 이것들은 동일합니다.

그리고 곱셈이 $s$ 반전 모드입니다 $p$.

$\theta : C_q \to \operatorname{Aut}(C_p)$

$\theta(b^i) = \alpha^i$

이것이 그룹 동형임을 보여줄 것입니다.

$\theta(b^i b^j) = \alpha^{i+j}$ 에 적용 $a^k$: $a^{s^{i+j} k}$.
$\theta(b^i) \circ \theta(b^j) = \alpha^{i} \circ \alpha^{i}$ 에 적용 $a^k$: $\alpha^{i}(a^{s^j k}) = a^{s^i s^j k}$

그리고 이것들은 동일하므로 이것은 유효한 그룹 동형입니다.

세부 사항 $s$:

에서 $\alpha$ 가역적이기 때문에 $s$ 단위 모드입니다 $p$.

에서 $\theta$ 그룹 동형이되는 것 $C_q$ (즉 $\theta(b^q) = \theta(1)$) 우리는 $\alpha^q = 1$. 그래서 우리는$s^q \equiv 1 \pmod p$.

이제 우리는 항상 $s^{p-1} \equiv 1 \pmod p$ 그래서 우리는 원시 루트를 취할 수 있습니다 $r$ 및 통지 $(s^{\frac{p-1}{q}})^q \equiv 1 \pmod p$ 그래서 우리는 $s$ 올려서 $r$ 권력에 $(p-1)/q$.

일반적으로 반 직접 곱은 다음과 같은 곱셈 연산이 있습니다 ($b$ 생성기가 아닌 일반적인 요소입니다. $C_q$ 다음 줄에만 해당) :