반사 방정식 대수에 대한 혼란
소위 반사 방정식 대수 (REA)가 여러 번 발생했지만 어디서 발견 하느냐에 따라 약간 다른 물체가 나오는 것 같습니다. 모든 경우에 준 삼각형 Hopf 대수가 배경에 숨어 있습니다. 다음에서$V$ 항상 차원의 벡터 공간이됩니다. $n$. 다음은 내가 만난 여러 사건의 목록입니다.
허락하다 $H$ 준 삼각 Hopf 대수 $R \in H \otimes H$ 그 보편적 $R$-matrix (여기서는 완성이있을 수 있지만 실제로는 중요하지 않습니다). 반사 대수는 벡터 공간으로 제한된 이중$H^\circ$. 그것은 소위 행렬 계수에 의해 스팬되는 완전 이중의 부대 수입니다. 대수 구조는 완전 이중의 대수 구조에서 비롯되지만 보편적 인$R$-매트릭스. 나는 이것이 때때로 꼰 이중이라고 불린다 고 생각합니다.$H$. 예제 정의 4.12를 참조하십시오.https://arxiv.org/pdf/math/0204295.pdf
허락하다 $R: V \otimes V \rightarrow V \otimes V$ 변태적이다 $V \otimes V$Yang-Baxter 방정식을 만족합니다. 그런 다음 반사 방정식 대수는 요소에 의해 생성 된 대수$(a_{ij})_{1 \leq i,j \leq n}$ 관계로 $$RA_1RA_1 = A_1RA_1R$$ 어디 $A$ 매트릭스입니다 $n \times n$ 생성 요소를 계수로 사용하고 $A_1 = A \otimes Id$. 여기에서 생성 요소는 다소$V^{\ast} \otimes V$. 이것은 도입 초기에 발견되었습니다.https://arxiv.org/pdf/1806.10219.pdf
이것은 특별한 예입니다. 여기 배경에 숨어있는 Hopf 대수는$U_q(\frak{sl_2})$ 그리고 $R$-행렬은 $$ \begin{pmatrix} q & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & q-q^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0& q \end{pmatrix}.$$ 이 경우 요소에 의해 생성 된 대수입니다. $(a_{ij})_{1 \leq i,j \leq 2}$ 관계 : $$R_{21}A_1RA_2 = A_2R_{21}A_1R$$ 그리고 또한 $$ a_{11}a_{22}- q^2a_{12}a_{21} = 1.$$ 이 대수는 종종 다음과 같이 표시됩니다. $\mathcal{O}_q(SL_2)$ 또는 때때로 $\mathcal{O}(Rep_q(SL_2))$. 이것은 예제 1.23으로 나타났습니다.https://arxiv.org/pdf/1908.05233.pdf또한 정의 2.1. 에https://arxiv.org/pdf/1811.09293.pdf (내가 쓴 내용을 되찾기 위해 각주에 유의하십시오).
예를 들어 세 번째 경우는 두 번째 경우의 특정 경우이지만 관계가 하나 더 있습니다.
처음에 하나의 매트릭스 요소는 $W^{\ast} \otimes W$ 어떤 표현이든 $W$ 의 $H$. 유한 차원 표현의 경우$H$ 표준 표현의 텐서 곱의 하위 표현으로 볼 수 있습니다. $V$, 그러면 실제로는 다음에서 오는 행렬 계수에 의해서만 생성됩니다. $V$. 그런 다음 2)에있는 것과 매우 유사합니다. 그러나 사건을 전문적으로 다루는 경우 여전히 누락 된 관계가 있습니다.$H = U_q(\frak{sl2})$3)에서와 동일하게 얻으려면. 그리고 다음과 같은 표현이 있다면 어떨까요?$H$ 그것은 표준 하나의 텐서 곱의 하위 표현이 아닙니까?
질문 : 이 모든 것이 실제로 동일한 것입니까, 아니면 뭔가 놓치고 있습니까? 사람들이 실제로 반사 방정식 대수라고 부르는 것에 대해 약간 혼란 스럽습니다. 준 삼각형 Hopf 대수에 대한 좋은 정의가 있습니까?$H$ 위의 모든 "예"를 포함하는 것입니까?
답변
- 준 삼각 Hopf 대수와 관련된 REA의 유일한 합리적인 정의는 1)입니다. 물론 이것은 다소 추상적 인 정의이지만 정확한 의미에서 보편적 인 RE의 솔루션을 제공합니다.
- 소위 Faddeev-Reshetikhin-Takhtajan (일반적으로 FRT로 약칭) 구조를 연상시킵니다. 그것의 주요 이점은 시작하기 위해 Hopf 대수가 필요하지 않다는 것입니다 (대신 원래 FRT 구성에서 목표는 QYBE의 임의의 솔루션에서 시작하는 Hopf 대수를 생성하는 것이 었습니다). 설사$R$ 준 삼각 Hopf 대수에서 나온다면 1)과 같은 답을주지 않을 것입니다. $U_q(\mathfrak{gl}_n)$ (그런데도 이것은 사실이 아닙니다. $\mathcal O(\mathfrak{gl}_n)$ 보다는 $\mathcal O(GL_n)$). 일반적으로 2)에서 1)까지의 맵이 있습니다.
- 반면에 당신이 말했듯이, 당신은 케이스에서이 구조를 실행할 수 있습니다. $V$다른 모든 것을 생성하는 표현입니다. 실제로이 접근 방식은 REA의 표현을 찾는 데 유용합니다. 이는 실제로 행렬 계수에 의해 생성되기 때문입니다. 대략적으로 말하면 이것은 생성기 세트를 제공하지만 일반적으로 모든 관계를 제공 하지는 않습니다 . 이것이 여기서 일어나는 일입니다. R- 행렬에 대해 FRT와 같은 재구성을 실행하면$\mathfrak{sl}_n$ 약간의 대수를 얻을 수 있습니다. 그러나 여러분이 언급 한이 추가 관계를 추가해야합니다. $q$-아날로그 $\det(A)=1$. 다시 이것은 원래 상황에서 이미 나타납니다.http://math.soimeme.org/~arunram/Resources/Reshetikhin/QuantizationOfLieGroupsAndLieAlgebras.html.
편집 보편적 인 속성에 대해 생각하는 것이 유용합니다. 1) 대수학에서 보편적입니다.$A$ RE의 솔루션으로 $A\otimes H$, 반면 2)는 대수학에서 보편적입니다. $A$ RE의 솔루션으로 $A\otimes End(V)$. 물론 대수지도로 작곡$H\rightarrow End(V)$ 의 행동에 의해 주어진 $H$ 의 위에 $V$ 첫 번째 방정식의 모든 솔루션은 두 번째 방정식에 대한 솔루션을 제공하므로이를 사례에 적용 $A$ REA 자체는 2)에서 구성된 대수에서 1)에서 구성된 대수로지도를 얻는 것입니다.
먼저 여러분이 나타내는 반사 행렬은 $A$는 종종 K- 매트릭스라고 불리며 | '벽'과 <벽에서 튀어 나오는 입자의 '세계 선'. 방정식의 그래픽 형식은 이미 Cherednik, Half-line 및 root 시스템의 입자 분해 (1984)에서 찾을 수 있습니다.https://link.springer.com/article/10.1007/BF01038545. 표기법$K$통합 양자 시스템 (1988)의 경계 조건 인 Sklyanin 때문일 수 있습니다 .https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0305-4470/21/10/015.
반사 (식) 대수 양씨의 반사 식 유사체 - 박스터 대수 : 벡터 공간과 양 순종 R 행렬 유한 차원의 임의 선택에 - 박스터 방정식 (및 편조 unitarity 적합한 다른 성질을 그리고 '초기 조건') 반사 방정식을 따르는 K- 행렬의 연산자 값 (비교 류) 항목에 의해 생성 된 단위 연관 대수를 연관시킬 수 있습니다.
반사를 대체하는 경우 (`$RKRK$') 방정식 $RLL$-방정식 1은 양자 아핀 대수의 FRT (또는 R- 행렬) 표현과 밀접하게 관련된 연산자 대수 인 Yang-Baxter 대수에 도달합니다.
Re 3 : FRT 프레젠테이션은 양자 결정자에 대해 아무것도 말하지 않습니다. $SL_n$ 당신은 부과해야 $qdet = 1$ 별도로, 이것은 3의 마지막 방정식입니다. 여기에 제공하는 반사 방정식의 버전은 때때로 단순화 될 수 있습니다. R- 행렬이 다음과 같은 의미에서 대칭이라고 가정합니다. $P R P = R$ 와 $P$순열. 그때$R_{21} = R_{12}$일반적인 텐서 레그 표기법으로. 이러한 경우 반사 방정식의 모든 R- 행렬은 다음을 사용하여 작성할 수 있습니다.$R$. (그래픽 적으로$R_{21}$ 그래도 분명합니다.)
Re 2 :이 저자는 종종 다음으로 표시되는 R-matrix의 브레이드와 같은 버전으로 작업합니다. $\check{R}$. 즉,$R$ YBE를 따르다
$$ R_{12}(u,v) \ R_{13}(u,w) \ R_{23}(v,w) = R_{23}(v,w) \ R_{13}(u,w) \ R_{12}(u,v) \ , $$
여기서 R- 매트릭스가 일반적으로 보조 공간의 각 사본과 관련된 스펙트럼 매개 변수에 의존 할 수 있다고 가정했습니다. (이것은 affine의 경우이지만 방정식의 구조를 강조하는 데 도움이됩니다.) 그런 다음 둘 다$P \ R$ 과 $R \ P$ YBE의 끈 모양 버전을 따르십시오
$$ \check{R}_{12}(u,v) \ \check{R}_{23}(u,w) \ \check{R}_{12}(v,w) = \check{R}_{23}(v,w) \ \check{R}_{12}(u,w) \ \check{R}_{23}(u,v) \ . $$
항상 어떤 버전이 사용되는지 확인해야합니다. 2에서 인용 한 논문에서는 후자이므로 둘 다$A$는 동일한 첨자를가집니다.
1 다시 : I 스칼라 엔트리 및 L-운영자와 K 행렬로 구성 복렬 모노 드로 미 행렬로서 K 행렬의 표현 Sklyanin의 구조의 적절한 수학적 해석하는 같이이라고 생각 coideal subalgebra 참조 Kolb와 Stokman, 반사 방정식 대수, coideal subalgebras 및 그 중심 ,https://arxiv.org/abs/0812.4459.
Appel and Vlaar의 최근 논문, 양자 Kac-Moody 대수를위한 범용 k- 행렬에 관심이있을 수 있습니다 .https://arxiv.org/abs/2007.09218