번호 $1,\frac12,\frac13,…\frac{1}{2010}$ 쓰여지고 어떤 두 $x,y$ 취하고 우리는 대체합니다 $x,y$ 그냥 $x+y+xy$

Question

이것은 정말 좋은 질문입니다! (모든 사람들이 수학을 좋아하게 만드는 질문에 직면했습니다.

우리는 일련의 숫자를 씁니다. $$1,\frac12,\frac13,..........,\frac{1}{2010}$$

이제 두 개의 숫자를 선택할 수 있습니다. $x$ 과 $y$ 이 두 숫자를 하나의 숫자로 바꿉니다. $x+y+xy$

이 과정은 숫자가 하나만 남을 때까지 반복되며 마지막 숫자를 찾습니다.

이것은 나를 당황하게했다! 진행 방법을 전혀 모르고 있습니다. 어디서부터 시작해도 같은 숫자로 끝나는 게 흥미롭지 않나요? 해결 방법에 대한 모든 힌트 를 환영합니다.

Answer 1

이것은 변하지 않는 질문입니다. 함수를 상상해보세요 $f(x_1,...,x_m)$ (어디 $m$ 특정 수의 인수이며 $x_i$ 모두 실수) 다음 속성을 사용합니다. $f(x_1,...,x_m)$ 이 두 가지를 먹어도 변하지 않습니다 $x_i,x_j$ 그리고 그냥 $x_i+x_j+x_ix_j$.

그럼 어떻게 되나요? 숫자가 하나만 있으면$N$ 그 후 남은 칠판에 $f(x_1,...,x_m) = f(N)$, 그래서 $N = f^{-1}(f(x_1,...,x_m))$ 제공 $f(x_1,...,x_m)$ 정확히 하나의 사전 이미지가 있습니다.

이 기능에 대한 힌트 $f$ 에서 오는 $(1+x)(1+y)=1+(x+y+xy)$, 그래서 뭔가 : 추가 $1$ 가지고있는 모든 숫자에이 결과를 곱할까요?

그러한 기능이 일을한다는 것은 명백합니다! 이 경우 추가해야합니다.$1$각 숫자에 모두 곱합니다. 그것은 곱하는 것과 같습니다$\frac{2}{1}, \frac 32, \frac 43 ,...\frac {2011}{2010}$, 그것은 단지 $2011$.

이제 보드에있는 마지막 숫자가 무엇이든 $2011$, 그래서 $2010$.

Answer 2

작업 $x*y=x+y+xy=(x+1)(y+1)-1$ 실수는 연관성이 있으므로 결과는 단계의 순서에 의존하지 않고 다음과 같습니다. $$(1+1)(1+1/2)...(1+1/2010)-1=2011!/2010!-1=2010$$

Answer 3

당신이 선택한다고 가정하자 $\frac1m$ 과 $\frac1n$ 첫 번째 차례에 다음으로 교체하십시오. $\left(\frac{m+1}m\frac{n+1}n\right)-1$

(참고 $x+y+xy=(x+1)(y+1)-1$)

다음 차례에 두 개의 숫자를 선택할 수 있습니다. $\frac1a$ 과 $\frac1b$, 교체 된 번호는 위와 같이 표시됩니다. $a,b$ 교체 $m,n$. 그러나 이전 단계에서 얻은 새 번호를 선택하면$\left(\frac{m+1}m\frac{n+1}n\right)-1$ 그리고 원래 번호 중 하나 $\frac1a$, 다음으로 대체합니다. $\left(\frac{m+1}m\frac{n+1}n\frac{a+1}a\right)-1$.

중간 단계를 작성하여 모든 단계에서 대체 된 번호가 다음과 같음을 보여줍니다. $\left(\prod_j\frac{a_j+1}{a_j}-1\right)$, 그래서 최종 답은 $$\dfrac{2011}{2010}\dfrac{2010}{2009}\cdots \dfrac{2}{1}-1=2010$$.