BG에서 거꾸로 된 뭉치가 거친 계획으로 밀려나는 것은 왜 뒤집을 수 없습니까?
내 질문은 특정 예와 관련이 있습니다. 허락하다$G = \mu_2$ 순서 2의 순환 그룹입니다. $* := \text{Spec }\mathbb{C}$, 그리고 $BG := [*/\mu_2]$ 스택 몫, 여기서 $\mu_2$ 사소하게 행동하다 $*$. 허락하다$\mathcal{O}_{BG}$ 구조 뭉치를 표시하고 $L$ 뒤집을 수있는 뭉치를 나타냅니다. $BG$ 사소하지 않은 표현에 해당 $\mu_2$ 의 위에 $\mathbb{C}$. 그러므로,$L(*\rightarrow BG) = \mathbb{C}$및 조치 $\mu_2$ 의 위에 $*\rightarrow BG$ 반전 동작을 유도합니다. $\mu_2$ 의 위에 $\mathbb{C}$.
허락하다 $c : BG\rightarrow *$대략적인 체계에 대한 표준지도를 나타냅니다. 나는$L$ 뒤집을 수있는 뭉치를 나타냅니다. $BG$ 사소하지 않은 표현에 의해 주어진 $\mu_2$ 의 위에 $\mathbb{C}$, 다음 $c_*L$ 뒤집을 수 없습니다 $*$. 그러나 정의 (아래 참조)에 따르면$c_*L$ 실제로 뒤집을 수 있습니다 $*$. 내가 어디로 잘못 갔습니까?
pushforward의 정의에 따라 저는 $c_*\mathcal{O}_{BG}$ 한계와 같아야합니다.
$$\lim\mathcal{O}_{BG}(*\rightarrow BG)$$ 한계가 모든 형태에 걸쳐있는 곳 $f : *\rightarrow BG$ 만족스러운 $c\circ f = \text{id}_*$. automorphism 그룹 이후$*\rightarrow BG$ 사소하게 행동하다 $\mathcal{O}_{BG}$, 이것은 두 개체 다이어그램의 한계에 불과합니다. $\mathbb{C}\stackrel{\text{id}}{\rightarrow}\mathbb{C}$, 이것은 단지 대각선입니다 $\mathbb{C}\times\mathbb{C}$.
마찬가지로, 글로벌 섹션 $c_*L$ 두 개체 다이어그램의 한계 여야합니다. $\mathbb{C}\stackrel{-1}{\rightarrow}\mathbb{C}$, 이것은 단지 쌍의 집합입니다. $\{(a,-a) : a\in\mathbb{C}\}$.
의 행동 $c_*\mathcal{O}_{BG}$ 의 위에 $c_*L$ 다이어그램의 좌표 적 곱셈 동작이어야합니다. $\mathbb{C}\stackrel{\text{id}}{\rightarrow}\mathbb{C}$ 다이어그램에서 $\mathbb{C}\stackrel{-1}{\rightarrow}\mathbb{C}$. 즉, 전역 섹션에서 작업$$c_*\mathcal{O}_{BG}\times c_*L\longrightarrow c_*L$$ 에 의해 주어져야한다 $((r,r),(a,-a)) \mapsto (ra,-ra)$. 이것은 만드는 것 같습니다$c_*L$ 뒤집을 수있는 뭉치로 $*$, 그러나 이것은 사실이 아니라고 들었습니다. 내가 어디로 잘못 갔습니까?
답변
푸시 포워드 $c_{\ast}L$ 하나의 개체가있는 다이어그램의 한계 여야합니다. "$\mathbb{C}$"및 두 개의 (자동) 모피 즘"$\mathrm{id} : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$"및"$-1 : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$"; 즉, 이퀄라이저입니다. $\mathrm{id}$ 및 곱하기 ($-1$); 따라서 사실$c_{\ast}L = 0$.
보다 일반적인 진술은 다음과 같습니다. $\mathcal{O}_{BG}$-모듈 및 $G$-표현, 푸시 포워드 펑터 $c_{\ast}$ 에 해당 $G$-불변 펑터.
우리가 교체하면 $\mathbb{C}$ 특성 2의 필드를 사용하면주의해야합니다. 일반적으로 유사 일관성 $\mathcal{O}_{B(\mathbb{Z}/(2))}$-모듈은 $\mathbb{Z}/(2)$-표현 및 유사 일관성 $\mathcal{O}_{B\mu_{2}}$-모듈은 $\mathbb{Z}/(2)$-등급이 매겨진 벡터 공간 (여기서 푸시 포워드는 학위 취득에 해당합니다. $0$ 등급 구성 요소).