비 벨리 안 Aharonov-Bohm 효과를 Berry 단계로 유도
나는 마이클 베리의 유도 를 비 벨리 안 게이지 필드의 경우 에 일반화 하여 비 벨리 안 Aharonov-Bohm 효과 를 유도하려고 합니다.$A$.
지금까지 내 파생
비 -abelian Berry 단계를 달성하기 위해 축퇴 고유 공간이 필요하므로 Hilbert 공간을 $\mathcal{H} = \mathcal{H}_\text{spatial} \otimes \mathcal{H}_\text{internal}$, 어디 $\mathrm{dim}(\mathcal{H}_\text{internal})=N$. 파동 함수는 다음과 같은 형식을 취합니다.
$$\Psi(x,t) = \psi(x,t) \mathbf{v} ,$$
어디 $\psi(x,t) $ 공간 파동 함수이고 $\mathbf{v} $시스템의 내부 상태 벡터입니다. 나는 이제 나의 Hamiltonian을
$$ H(X) = - \frac{1}{2m } (\nabla \mathbb{I} - ie A)^2 + V(X-x)\mathbb{I}$$
어디 $V(X-x)$ 위치 중앙에있는 작은 상자 안에 입자를 가두는 제한 잠재력입니다. $X$, $A$ 게이지 필드이고 $\mathbb{I}$ 에 identiy입니다 $\mathcal{H}_\text{internal}$. 이 Hamiltonian은 Berry의 파생에 사용 된 Hamiltonian과 거의 동일하지만 지금은 이것을 연산자로 업그레이드했습니다.$\mathcal{H}$ 허용함으로써 $H$ 내부 인덱스도 가지고 있고 $A$ 비 벨리 안 게이지 필드가됩니다.
Berry의 논문 결과를 일반화하여 $N$ 에너지가있는 해밀턴의 고유 상태 $E$ 곡률이있는 지역에서 $A$ 소멸은 다음과 같이 주어진다.
$$ \Psi_j(X;x,t) =P \exp \left( - i \int_X^x A \cdot \mathrm{d} l \right) \psi_E(X;x,t) e_j $$ 어디 $P$ 경로 순서를 나타냅니다. $\psi_E$ 에너지가있는 공간 파동 함수 $E$ 과 $e_j$ 의 기본 벡터입니다 $\mathcal{H}_\text{internal}$. 이것은 차동 연산자로 표시하기 쉽습니다.$\nabla$ 공간 자유도에만 작용하므로 모든 기저 벡터에 대해 하나의 고유 상태가 있습니다. $\mathbf{e}_j$따라서 우리가 원하는 퇴행성은 비 벨리 안 베리 연결에 필요합니다. 해당 Berry 연결은 다음과 같습니다.
$$ [\mathcal{A}_\mu]_{ij}(X) = i\langle \Psi_i(X) | \frac{\partial}{\partial X^\mu} | \Psi_j(X) \rangle \\ = i\int \mathrm{d}^n x e_i^\dagger \bar{P} \exp \left( i \int_X^x A \cdot \mathrm{d} l \right) (iA_\mu) P \exp \left( - i \int_X^x A \cdot \mathrm{d} l \right) e_j \psi_E^*(X;x,t) \psi_E(X;x,t)$$
어디 $\bar{P}$Hermitian conjugate를 취하기 때문인 anti-path ordering 연산자입니다. 아벨 게이지 필드의 경우$A$, 지수는 모든 것을 지나갈 것이고 Berry 연결은 감소 할 것입니다 $\mathcal{A} \propto A$, 그러나 나는 비 벨리 안 연결의 경우 이것을 평가하는 방법을 모릅니다.
내 문제
여러 출처에서 비 벨리 안 Aharonov-Bohm 효과가 윌슨 게이지 필드 라인을 생성 할 것이라고 제안합니다.
$$ U = P \exp \left( -i \oint_C A \cdot \mathrm{d} l \right) $$예를 들어 this and this 는 Berry 연결이 게이지 필드에 비례한다는 것을 나에게 제안합니다.$\mathcal{A} \propto A$, 그러나 내 파생에서 나는 내가 평가 해야하는 위의 마지막 줄에 갇혀 있습니다.
$$ \bar{P} \exp \left( i \int_X^x A \cdot \mathrm{d} l \right) A_\mu P \exp \left( - i \int_X^x A \cdot \mathrm{d} l \right)=? $$
경로 순서 지수에 대한 일종의 일반화 된 Baker-Campbell-Hausdorff 공식이 있습니까? $e^X Y e^{-X} = Y + [X,Y] + \frac{1}{2} [X,[X,Y]] + \ldots $?
답변
플럭스를 둘러싸는 루프를 돌면 파동 함수는 단일 값이 아닙니다. 나는 운동량 입자에 대한 아벨 리안 BA 효과에 대한 해결책이$k$ 솔레노이드에서 산란
$$ \psi(r,\theta)= \sum_{l=-\infty}^{\infty} e^{il \theta -(\pi/2)(l-\alpha)}J_{|l-\alpha|}(kr) $$ 당신의 형태로 고려 될 수 있지만 나는 틀린 것 같습니다.
아, 당신이 뭘하는지 봅니다. 당신은 Peter Horvathy가하는 비 벨리 안 산란 문제를 해결하는 것이 아닙니다. 당신은 Michal Berry가하는 것처럼 플럭스 주위로 운반되는 작은 상자 안의 입자에만 관심이 있습니다. 따라서 전체 산란 솔루션을 얻을 수 없습니다. Berry가 말했듯이 그의 솔루션은${\bf r}$ 하지만 로컬에서만 ${\bf R}$.
단순히 연결된 영역에서 다음과 같이 작성할 수 있습니다. $A_\mu(x) = U^\dagger(x)\partial_{x^\mu} U(x)$ 그리고 $(\partial_\mu+A)U^{-1} \psi= U^{-1} \partial_\mu\psi$ 우리는 쓸 수 있음을 알 수 있습니다 $\psi(x)= U^{-1}(x)\psi_0(x-X)$ 중앙에있는 입자 상자 $X$ 그리고 어디 $\psi_0$제로 게이지 필드 파동 함수입니다. 파동 함수를 선택하면 Berry 연결은 0이됩니다. 파동 함수는 항상 그 지점에서 원하는 것이기 때문입니다. 단열 베리 운송이 필요하지 않습니다. 0이 아닌 연결을 얻으려면 각 상자에서 파동 함수가 정확히 동일하게 보이도록 파동 함수를 재정의 할 수 있습니다. 이를 위해 우리는$\psi(x)$ 와 $U^{-1}(x) U(X)\psi_0$ 그래서 중앙에 $x=X$ 각 상자의 새로운 wavefunction $\psi(X)=\psi_0(X)$ 위치에 관계없이 동일 $X$상자의. 이제 당신의 계산은${\mathcal A}_\mu(X) = U^{-1}(X)\partial_{X^\mu} U(X)$.
세부 사항은 다음과 같습니다. 상자의 파동 함수를$$ U^{-1}(x) U(X)\psi_0(x-X)\stackrel{\rm def}{=} \langle x |0,X\rangle $$ 어디 $\psi_0$정규화되었습니다. 그런 다음 Berry 연결은$$ \langle 0,X|\partial_{X^\mu}|0,X\rangle = \int dx \psi_0^\dagger(x-X) U^{\dagger}(X) U(x) \partial_{X^\mu}\Big( U^{-1}(x)U(X) \psi_0(x-X)\Big)\\ =\int dx \psi_0^\dagger(x-X) U^{\dagger}(X) \partial_{X^\mu}\Big(U(X) \psi_0(x-X)\Big) $$ 평가할 두 가지 용어가 있습니다. $U(X)$ 그리고 그것이 맞는 곳 $\psi_0(x-X)$. 첫 번째는$$ \int dx \psi_0^\dagger(x-X) \partial_{X^\mu} \psi_0(x-X)= - \int dx \psi_0^\dagger(x-X) \partial_{x^\mu} \psi_0(x-X)\\ = \frac 12 \int dx \partial_{x^\mu}|\psi|^2\\ =0 $$ 당신이 설정했기 때문에 $\psi_{0,i} = v_i \psi_0$ 어디 $v_i$ 복소수 벡터 진폭은 $U$ 행동하고 $\psi$, 바운드 상태는 실제이며 상자의 경계에서 사라집니다. 두 번째는$$ U^{-1}(X)\partial_{X_\mu} U(X) \int dx |\psi_0|^2\\ = U^{-1}(X)\partial_{X_\mu} U(X)=A_\mu(X). $$ 따라서 Berry 연결은 상자 중앙에서 평가되는 게이지 필드 일뿐입니다.