비원 자적 한계에 대한 비원 자적 측정의 약한 수렴은 절대적인 연속성을 보존합니까?

Question

허락하다 $\mu_n$, $\mu$ 과 $\nu$ 공통 Hausdorff 토폴로지 공간에서 비 원자 Borel 측정을 수행하여 $\mu_n$ 에 대해 절대적으로 연속적입니다. $\nu$. 수렴이 약함$\mu_n \to \mu$ (확률 이론의 의미에서, 즉 경계가있는 연속 함수로 정의 됨) $\mu$ 에 대해 절대적으로 연속적입니다. $\nu$?

원자를 제외하지 않고 대답은 아니오 입니다. 예를 들어 여기를 참조 하십시오 .

위의 비 원자 상황에서 대답이 여전히 '아니오'라면 모든 측정이 일반 Borel 또는 Radon이라고 가정하는 것이 차이를 만들까요?

Answer 1

당신의 공간이 $\mathbb{R}^2$, 허락하다 $\mu$ 원의 균일 한 분포가되고 $\nu$Lesbegue 측정입니다. 허락하다$\mu_n$ 고리의 균일 한 분포 $B[0,1]\setminus B[0,1-1/n]$. 그때$\mu_n$ 에 대해 절대적으로 연속적입니다. $\nu$,하지만 $\mu_n\to \mu$약하게. 같이$\mu$ null 집합에서 지원됩니다. $\mu$ Lesbegue 측정과 관련하여 절대적으로 연속적이지 않습니다.

이 모든 조치는 라돈입니다.