볼록 함수의 한계
다음 운동에 대한 확인이 필요합니다.
허락하다 $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 볼록 함수.
증명 $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x)$ 과 $\lim_{x \rightarrow - \infty} f(x)$ 있다
두 한계가 모두 유한 한 경우 $f$ 일정합니다.
내 시도 :
i) 나는 $f$ 볼록한 다음 $$f(t x_1 + (1-t)x_2)< t f(x_1) + (1-t) f(x_2)$$
내가 임의의 것을 고치면 $N>0$, 그런 다음 $x>x_2 \colon \quad f(x)>N$, 볼록성 덕분에 이것은 한계를 증명합니다. $+ \infty$ 이다 $+\infty$.
동일한 주장이 적용됩니다. $\lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)$: 참고로 충분합니다. $x<x_1 \colon \quad f(x)>N$.
ii)
그래픽 적으로는 분명하지만 공식화하는 데 몇 가지 문제가 있습니다.
한계가 유한 한 경우 다음과 같이 말하십시오. $L$, 모든 $\varepsilon >0$ 존재한다 $M(\varepsilon)$ 그런 $$x>M(\varepsilon) \colon \quad |f(x)-L|\leq \varepsilon$$
취하다 $f (x) \ne c$. 볼록성의 정의에 따라$t \in [0,1]$) $$t f(M)+(1-t)f(M+1) \leq f(t M + (1-t)(M+1))$$
이제 한계의 정의에 따라 $f(M)$ 과 $f(M+1)$ 보다 작다 $L-\varepsilon$. 또한 부등식에 대한 rhs의 인수를 단순화 할 수 있습니다.
$$L-\varepsilon <t f(M)+(1-t)f(M+1) \leq f(t M + (1-t)(M+1)) = f(M-t)$$
따라서 $$L-\varepsilon < f(M-t)$$, 이것은 모순입니다. $M-t<M$ 따라서 다음보다 클 수 있습니다. $L-\varepsilon$.
그래서 $f$ 다음과 같아야합니다 $c$. 실제로이 경우에는 여전히 (사소하게) 볼록하며 한계는 물론 유한합니다.
답변
힌트 : 볼록 함수가 감소하거나 증가하거나 감소하거나 증가하고 있음을 증명하십시오.
볼록성은 일반적으로 "$\le$"이 아니라"$\lt$"(그렇지 않으면"엄격하게 볼록 ").
f가 항상 무한대로 간다는 것을 보여주고 싶지는 않습니다. 왜냐하면 필요하지 않기 때문입니다.
시작 $x\rightarrow\infty$.
먼저 두 점이 있다고 가정합니다. $x\lt y$ 와 $f(x)\lt f(y)$. 그러면 f가 무한대가된다는 것을 보여줄 수 있습니다 . 일반성을 잃지 않고 가정 할 수 있습니다.$x=0$ 과 $f(x)=0$ (그렇지 않은 경우 슬라이드하고 f가 될 때까지 이동합니다. 관심있는 동작은 변경되지 않습니다.)
몇 가지 고려 $z>y$. 이후$y>x=0$, 다음 $z=y/t$ 일부 $0<t<1$. 그래서 볼록 함으로$$tf(z)=tf(y/t)+(1-t)f(0)\ge f(t(y/t)+(1-t)0)=f(y)$$ 그래서 $f(z)\ge f(y)/t$. 같이$z\rightarrow \infty$ 분명하다 $t$ 로 이동 $0$, 그래서 $f(y)/t\rightarrow\infty$ (생각해 내다 $f(y)>0$) 따라서 그렇습니다 $f(z)$. 따라서이 경우$f$ 무한대로 증가합니다.
그렇지 않으면 우리의 가정은 거짓이므로 f는 상수이거나 그렇지 않으면 일정하지 않고 단조 감소해야합니다. 후자라고 가정합니다. 다시 원점을 이동하여$f(0)=0$. 그때$f(1)<0$ 볼록성 속성으로 쉽게 보여줄 수 있습니다. $f(t)\le t f(1)$ 그래서 $f$ 마이너스 무한대로 이동합니다.
그런 다음 대칭으로 인수를 반복 할 수 있습니다. $x\rightarrow-\infty$.