보상으로 옵션 가격 책정 $\left(1-\frac{K}{S_t}\right)^{+}$
허락하다 $S_t=S_0 \exp\left\{rt+0.5\sigma^2t+\sigma W_t\right\}$ 화폐 시장 수치에 따라 주가에 대한 일반적인 GBM 모델이어야합니다.
만기일에 보상을받는 옵션의 가격을 책정한다고 가정합니다. $C_T=(1-\frac{K}{S_T})^{+}$
기본 정리를 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
$$C_0=e^{-rT}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[\left(1-\frac{K}{S_T}\right)\mathbb{I}_{S_T>K}\right]=e^{-rT}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[\mathbb{I}_{S_T>K}-\frac{K}{S_T}\mathbb{I}_{S_T>K}\right]=\\=e^{-rt}N(d_2)-e^{-rT}K\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[\frac{\mathbb{I}_{S_T>K}}{S_T}\right]=\\=e^{-rT}N(d_2)-e^{-rT}K\int_{K}^{\infty}\left(\frac{1}{h}f_{S_T}(h)\right)dh=\\=e^{-rT}N(d_2)-e^{-rT}K\int_{K}^{\infty}\left(\frac{1} {h^2 \sqrt{t}\sigma \sqrt{2\pi}} \exp\left\{{-\frac{(\ln(h/S_0)-(r-0.5\sigma^2)t)^2}{2\sigma^2t}}\right\}\right)dh$$
질문 1 : 이제 위의 적분을 분석적으로 풀 수있는 쉬운 방법이 있습니까?
질문 2 : 다른 Numeraire 또는 유사한 라인을 통해 이러한 유형의 옵션에 대해 더 현명하게 가격을 책정 할 수있는 방법이 있습니까?
힌트를 주셔서 감사합니다.
편집 : 완전성을 위해 여기 에서이 질문 에서 힌트를 찾았 으며 가격 문제를 해결하는 다른 방법으로 이어집니다. 이 힌트를 사용하여 정수 용어를 다음과 같이 단순화 할 수 있습니다.
$$K\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[\frac{1}{S_T}\mathbb{I}_{S_T>K}\right]=\frac{K}{S_0}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[\frac{S_0}{S_T}\mathbb{I}_{S_T>K}\right]=\\=\frac{K}{S_0}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[\exp\left\{-rT+0.5\sigma^2T-\sigma W_T\right\}\mathbb{I}_{S_T>K}\right]=\\=\frac{K}{S_0}e^{-rT+0.5\sigma^2T}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[\exp\left\{-\sigma W_T\right\}\mathbb{I}_{S_T>K}\right]=\\=\frac{K}{S_0}e^{-rT+0.5\sigma^2T}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[\exp\left\{-\sigma \sqrt{T}Z\right\}\mathbb{I}_{Z>-d_2}\right]=\\=\frac{K}{S_0}e^{-rT+0.5\sigma^2T}\int_{-d2}^{\infty}\left(\exp\left\{-\sigma \sqrt{T}h\right\}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left\{\frac{-h^2}{2}\right\}\right)dh=\\=\frac{K}{S_0}e^{-rT+0.5\sigma^2T}\int_{-d2}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left\{\frac{-h^2-2\sqrt{T}\sigma+\sigma^2T - \sigma^2T }{2}\right\}\right)dh=\\=\frac{K}{S_0}e^{-rT+\sigma^2T}\int_{-d2}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left\{\frac{-(h+\sigma \sqrt{T})^2}{2}\right\}\right)dh=\\=\frac{K}{S_0}e^{-rT+\sigma^2T}\mathbb{P}\left(Z-\sigma\sqrt{T}>-d2\right)=\\=\frac{K}{S_0}e^{-rT+\sigma^2T}\mathbb{P}\left(Z<d2-\sigma\sqrt{T}\right)=\\=\frac{K}{S_0}e^{-rT+\sigma^2T}N(d_3)$$
따라서 최종 결과는 다음과 같습니다.
$$C_0=e^{-rT}N(d_2)-\frac{K}{S_0}e^{-2rT+\sigma^2T}N(d_3)$$
아래 답변에 제공된 것과 동일한 결과입니다.
답변
$\frac{1}{S_t}$ 로그 정규
만약 $S_t$ 기하학적 인 브라운 운동이므로 $\frac{1}{S_t}$ 그리고 실제로 어떤 힘 $S_t^\alpha$. Itô의 Lemma를 사용하고$f(t,x)=\frac{1}{x}$, \begin{align*} \mathrm{d}f(t,S_t) &= \left(0-\mu S_t\frac{1}{S_t^2}+\frac{1}{2}\sigma^2S_t^2\frac{2}{S_t^3}\right)\mathrm{d}t-\sigma S_t \frac{1}{S_t^2}\mathrm{d}W_t \\ &=- \frac{1}{S_t}\left(\left(\mu -\frac{1}{2}\sigma^2\right)\mathrm{d}t+\sigma \mathrm{d}W_t\right). \end{align*}
더 간단하게 볼 수 있습니다. \begin{align*} S_t&=S_0\exp\left(\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2\right)t+\sigma W_t\right) \\ \implies \frac{1}{S_t}&=S_0^{-1}\exp\left(-\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2\right)t-\sigma W_t\right). \end{align*} 가장 사소한 방법은 아마도 $$\ln\left(\frac{1}{S_t}\right)=-\ln(S_t)\sim N\left(-\ln(S_0)-\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2\right)t,\sigma^2t \right).$$
나머지는 표준입니다
허락하다 $X=e^{m+s Z}$, 어디 $m=-\ln(S_0)-\left(r-\frac{1}{2}\sigma^2\right)T$, $s=\sigma\sqrt{T}$ 과 $Z\sim N(0,1)$. 그때,\begin{align*} \mathbb{E}\left[\max\left\{1-\frac{K}{S_T},0\right\}\right] &= K\mathbb{E}\left[\max\left\{\frac{1}{K}-X,0\right\}\right] \\ &= \Phi\left(-\frac{m+\ln(K)}{s}\right)-Ke^{m+0.5s^2}\Phi\left(-\frac{m+\ln(K)+s^2}{s}\right). \end{align*}
그때, $e^{m+0.5s^2}= \frac{1}{S_0} e^{-\left(r-\sigma^2\right)T}$ 물론 \begin{align*} \Phi\left(-\frac{m+\ln(K)}{s}\right) &=\Phi\left(\frac{\ln(S_0/K)+\left(r-\frac{1}{2}\sigma^2\right)T}{\sigma \sqrt{T}}\right)=:\Phi(d_0), \\ \Phi\left(-\frac{m+\ln(K)+s^2}{s}\right) &=\Phi\left(\frac{\ln(S_0/K)+\left(r-\frac{3}{2}\sigma^2\right)T}{\sigma \sqrt{T}}\right)=:\Phi(d_{-1}). \end{align*}
최종 옵션 가격은 \begin{align*} V_0 = e^{-rT}\Phi\left(d_0\right)-\frac{K}{S_0}e^{-\left(2r-\sigma^2\right)T}\Phi\left(d_{-1}\right). \end{align*}
numéraires와의 관계
드리프트를 볼 수 있습니다 $r-\sigma^2$ 용어에 나타나는 $e^{m+0.5s^2}$ 과 $\Phi\left(-\frac{m+\ln(K)+s^2}{s}\right)$. 이 드리프트는 @Gordon이 제안한 것처럼 숫자 변화에 해당합니다. 드리프트가$S_t$ 재고 측정에 따라 $\mathbb{S}$ 이다 $r+\sigma^2$, 여기 와 자신의 질문을 참조 하십시오 . 이 답변 은 전력 수치를 매우 자세히 설명합니다. 이 답변의 맨 끝은$S_t$ 가치 프로세스를 사용하는 조치에 따라 $S_t^{-1}$ (그건 $V_t=e^{-r(T-t)}\mathbb{E}^\mathbb{Q}[S_T^{-1}|\mathcal{F}_t]$) numéraire는 $r-\sigma^2$.