보여줘 $7^{(2n^2 + 2n)}$ 에 합동 $1 \bmod 60$

Question

방금 시험을 마쳤지만 다음 작업을 해결할 수 없습니다.

다음 사항이 모두에게 사실임을 보여주십시오. $n \in \mathbb{N}$:

$7^{2(n^2 +n)} \equiv 1 \mod 60$

지수가 다음의 배수임을 보여 주려고했습니다. $\varphi(60) = 16$ 그런 다음 $a^{\varphi(n)} \equiv 1 \mod n$하지만 그게 틀렸거나 적어도 더 이상 나를 데려 가지 않았다고 생각합니다. 아무도 이것을 해결하는 방법에 대한 팁이나 트릭이 있습니까?

Answer 1

예, $n^2+n=n(n+1)$ 항상 그렇다 $2n^2+2n$ 나눌 수있다 $4$, 그래서 $2n^2+2n=4k$ 과 $7^{2n^2+2n}=(7^4)^k=2401^k \equiv 1 \mod 60$.

Answer 2

사실, 지수가 항상 곱셈 순서 의 배수임을 보여 주면됩니다.$7$ 모듈로 $60$. 이 값은 나누어야하기 때문에$\varphi(60) = 16$, 다음의 요인이어야합니다. $16$. 으로 닥터 의 질문 댓글이 표시, 당신은 쉽게 결정하고 곱셈 순서는 확인할 수 있습니다$4$ 이후 $7$ 과 $7^2 = 49$ 작동하지 않지만 $7^4 = 2401 \equiv 1 \pmod{60}$작동합니다. 그런 다음 확인 만하면됩니다.$n^2 + n = n(n + 1)$ 항상 균등합니다. $n$ 또는 $n + 1$ 모두를위한 것입니다 $n$.