보여줘 $(\Bbb Z/15\Bbb Z)^{\times}\simeq\Bbb Z/4\Bbb Z\times\Bbb Z/2\Bbb Z$

Question

보여줘 $(\Bbb Z/15\Bbb Z)^{\times}\simeq\Bbb Z/4\Bbb Z\times\Bbb Z/2\Bbb Z$, 어디 $(\Bbb Z/15\Bbb Z)^{\times}$ 모듈로 정수 그룹입니다. $15$ 곱셈에서.

이것은 First Isomorphism Theorem과 관련된 질문이지만 직접 제품과 함께 사용하는 방법을 모르겠습니다. 그룹이 주기적인지 확인하고 기능을 찾으려고 노력했습니다.$f:\Bbb Z/4\Bbb Z\times\Bbb Z/2\Bbb Z\to(\Bbb Z/15\Bbb Z)^{\times}$그러나 그것은 나를 어디에도 가지지 못했습니다. 가능하다면 힌트가 도움이 될 것입니다.

Answer 1

우리는 항상 $$ (\Bbb Z/pq\Bbb Z)^{\times}\cong (\Bbb Z/p\Bbb Z)^{\times}\times (\Bbb Z/q\Bbb Z)^{\times}, $$ 프라임 $p$ 과 $q$ CRT (Chinese Remainder Theorem)에 의해.

또한 우리는 $(\Bbb Z/p\Bbb Z)^{\times}\cong \Bbb Z/(p-1)\Bbb Z$.

참조 :

$\mathbb Z_{mn}$ 동형 $\mathbb Z_m\times\mathbb Z_n$ 할때는 언제나 $m$ 과 $n$ 코 프라임

내 증거는 $U_{pq}$ 순환하지 않는 경우 $p$ 과 $q$ 뚜렷한 홀수 소수가 맞습니까?