보여줘 $\frac{dy}{dx} = 5y +28 \cos(y), y(0) = 54$ 독특한 솔루션이 있습니다 $\mathbb{R}$

Aug 15 2020

보여줘 $\frac{dy}{dx} = 5y +28 \cos(y), y(0) = 54$ 독특한 솔루션이 있습니다 $\mathbb{R}$.

이것은 Berkeley Problems in Mathematics의 문제 중 하나에서 파생 된 것입니다.

내 솔루션 (시도)은 authours에 의해 제시된 것보다 훨씬 짧습니다. $(0,54)$ Picard 정리의 로컬 버전을 사용한 다음 IFT를 사용하여이 이웃에 대한 명시 적 솔루션을 찾고이 솔루션이 유효한지 증명합니다. $\mathbb{R}$) 그래서 내가 놓친 것이 없는지 확인하고 싶었습니다.

내 해결책은 다음과 같습니다.

허락하다 $f(x,y)= 5y +28\cos(y)$. 고치다$h >0$. 연속 함수의 기본 속성$f$ 계속된다 $[-h,h] \times \mathbb{R}$ 그리고 Lipschitz에서 $y$이 스트립에. 이것은 다음과 같습니다.

$|f_y (x,y)|=|5-28\sin(y)| \leq 5+28|\sin(y)| \leq 5+28 = 33$ 그리고 MVT.

Picard의 정리가 적용되고 IVP에 고유 한 솔루션이 있음을 알 수 있습니다. $[-h,h]$.

그러나 $h$ 임의적이므로 IVP는 $\mathbb{R}$. $\blacksquare$

이 올바른지? 일반적으로 글로벌 솔루션의 고유성 / 존재 성을 증명하는 방법에 대해 약간 확신이 없습니다. 분석적 연속성 또는 글로벌 Picard ?!


내가 사용하는 Picard의 정리 버전은

IVP $y'(x) = f(x,y), y(a)=b$에 고유 한 솔루션이 있습니다. $\mathbb{R}$ 제공, $\forall h:$

  • $f$ 계속된다 $[a-h, a+h] \times \mathbb{R}$

  • $f$ y에 Lipschitz는 $[a-h, a+h] \times \mathbb{R}$.

답변

LutzLehmann Aug 15 2020 at 22:26

당신의 생각이 맞습니다. 하위 선형 오른쪽을 사용하면 글로벌 솔루션을 얻을 수 있습니다. 증명 아이디어는 예를 들어

  • 1 차 ODE에 대한 솔루션의 존재. 무엇을 증명해야합니까?
  • ODE의 고유 솔루션 증명에서 불평등

소스의 문제는 표준 지역화 된 정리 이후에 더 글로벌 버전의 정리를 증명하려는 노력을 기울이지 않았기 때문일 수 있습니다. 따라서 그들은 많은 지역 솔루션에서 솔루션을 조립해야합니다.

귀하의 상태를 공식화하면 해결책 만 얻을 수 있습니다. $[a-h,a+h]$, 이것은 ODE의 탐색 된 영역이기 때문에 놀랄 일이 아닙니다.