보여줘 $-\left(\min_{w\in C}(w^\top s+\frac12\|w\|_2^2)\right)$ 볼록하거나 오목한 것을 보여줍니다

Question

$$f(s)=-\left(\min_{w\in C}(w^\top s+\frac12\|w\|_2^2)\right)$$ 어디 $C$ 콤팩트하고 볼록한 세트입니다. $\mathbb{R}^n$

함수가 오목하다고 생각하지만 볼록 함을 보여줄 필요가 있습니다 (거짓 일 수 있음). 결과를 알려주세요. 나는 이것이 오목하다는 것을 증명하기 위해 파라 메트릭 볼록 함수의 최소값이 볼록이라고 대답하는 이 링크 를 사용할 생각입니다 .

Answer 1

볼록 함수의 집합이 주어지면 점별 상한선은 볼록합니다. 여기에서 대답을 참조하십시오. 아핀 함수 집합의 최고 값이 볼록하다는 것을 증명 하십시오.

(도메인이 콤팩트하다고 가정하지만 증명은 이것을 사용하지 않으며 어떤 경우에도 라인 세그먼트로 제한하여 도메인이 콤팩트하다고 가정 할 수 있습니다.)

곱하기 $-1$, 우리는 오목 함수의 점적 한계가 오목하다는 것을 얻습니다.

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Affine 함수는 오목하므로 정의에서 무한한 것입니다. $f(s)$, 그래서 $f(s)$볼록합니다. 이 주장은$C$ 볼록합니다.

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참고 : 질문의 최소값이 존재하는 것은 자동이 아닙니다 (특정한 경우 실패 할 수 있음). $C$ 용어가 $\frac12 \lVert w \rVert^2$그곳에 없어). 하지만 다음과 같이 쓸 수 있습니다.$$f(s) = \frac12 \lVert s \rVert^2 - \inf_{w \in C} \frac12 \lVert s + w \rVert^2 $$

그리고이 infimum은 $C$닫힙니다. 또한, 우리는$$f(s) = \frac12 \lVert s \rVert^2 - \frac12 d(s, -C)^2 \,.$$