부분 불평등에 대한 질문

Question

$a,b$양의 정수입니다. 허락하다$\frac{a}{b}$ 가능한 가장 작은 분모를 가진 분수 $b$ 그런 $\frac{386}{2019}$ < $\frac{a}{b}$ < $\frac{35}{183}$. 가치를 결정하십시오$a+b$.

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나는 불평등을 단순화하려고 시도했지만 막혔습니다. 그러나 나는 그것을 알고있다.$b$ 가장 작아야합니다. $a$.

이 질문을 어떻게해야하는지 아십니까? 도움을 주셔서 감사합니다.

Answer 1

아마도 다음이 도움이 될 것입니다.

우리는 $$386b+1\leq2019a$$ 과 $$35b\geq183a+1.$$ 방정식을 풀 수 있습니다 $35b=183a+1,$ 주는 $$(a,b)=(13+35k,68+183k),$$ 어디 $k\geq0$ 분수를 제공하는 정수입니다. $\frac{13}{68}.$

쉽게 볼 수 있습니다. $\frac{13}{68}$ 유효하지 않습니다.

이제 우리는 $k=1$, $k=2$, ...

또한 방정식을 풀 수 있습니다. $386b+1=2019a,$ 주는 $$(a,b)=(373+386k,1951+2019k),$$ 어디 $k\geq0$ 정수입니다.

쉽게 볼 수 있습니다. $\frac{373}{1951}$ 유효합니다.

나는 첫 번째 경우에 그것을 얻었다 $k=1$ 유효합니다. $\frac{48}{251}.$

Answer 2

연분 수 의$386/2019$ 이다 $[0; 5, 4, 2, 1, 29]$.

연분 수 의$35/183$ 이다 $[0; 5, 4, 2, 1, 2]$.

따라서이 숫자 사이에있는 가장 단순한 분수는 계속 분수입니다. $$[0; 5, 4, 2, 1, 3]=\dfrac{48}{251}$$