부분 함수가 Darboux 통합 가능하다는 것을 증명 $[0,2]$ 보조

Aug 16 2020

허락하다 $f:[0,2] \rightarrow \mathbb{R}$ ~에 의해 주어지다

$$f(x) = \left\{ \begin{array}\ 10,\quad \ 0\leq x < 1, \\ 100,\quad \ x = 1, \\ -5,\quad \ 1 < x \leq 2. \\ \end{array} \right. $$

증명 $f$ Darboux 통합 및 컴퓨팅 $\int_{0}^{2}f$.

시도

기능이 Darboux 통합 가능하다는 것은 모두에게 $\epsilon > 0$, 파티션이 있습니다. $P$$[0,2]$ 그런 $U(f,P) - L(f,P) < \epsilon$.

가정 $P = \{t_{0}, \dots, t_{n}\}$ 파티션입니다 $[0,2]$$t_{j-1} < 1 < t_{j}$.

에 대한, $t_{0} < \dots < t_{j-1}$: $m_{i} = M_{i} = 10$

또한 $t_{j} < \dots < t_{n}$: $m_{i} = M_{i} = -5$

이제 관리하는 데 문제가 있습니다. $x = 1$그것은 불연속성이있는 곳이며 분명히 문제의 도전입니다. 처음에는$m_{i} = M_{i} = 100$ 숫자 1이 어느 간격이든간에 나에게 줄 것입니다.

$$L(f,P) = \sum_{i = 1}^{n}m_{i}(t_{i} - t_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^{j-1}10(t_{i} - t_{i-1}) + 100(t_{j} - t_{j-1}) + \sum_{j+1}^{n}-5(t_{i} - t_{i-1})$$

$$U(f,P) = \sum_{i = 1}^{n}M_{i}(t_{i} - t_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^{j-1}10(t_{i} - t_{i-1}) + 100(t_{j} - t_{j-1}) + \sum_{j+1}^{n}-5(t_{i} - t_{i-1})$$

그런 다음 이것들을 빼면 $U(f,P) - L(f,P) = 0 < \epsilon$.

하지만 이것이 정답이 아니라고 생각하고 파티션을 좀 더 명시 적으로 표현해야합니다. 또한 무엇이든$U(f,P) - L(f,P)$결국 적분이 무엇인지 수렴 할 것입니다. 그리고 적분을 계산할 때 (이전 계산 기술을 사용하여 확인)$5$이것은 상하 한 합계의 차이 값이 아닙니다. 내가 어디로 잘못 가고 있습니까?

답변

1 enzotib Aug 16 2020 at 19:44

결정된 $\varepsilon$ 그리고 찍은 $\delta$ 충분히 작 으면 $$ t_{j-1}=1-\delta,\qquad t_j=1+\delta, $$
그래서 \begin{align} L(f,P) &= \sum_{i = 1}^{n}m_{i}(t_{i} - t_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^{j-1}10(t_{i} - t_{i-1}) + \mathbf{(-5)}(t_{j} - t_{j-1}) + \sum_{j+1}^{n}(-5)(t_{i} - t_{i-1})=\\ &=10(1-\delta)-5\cdot2\delta-5(1-\delta)=5-15\delta\\ U(f,P) &= \sum_{i = 1}^{n}M_{i}(t_{i} - t_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^{j-1}10(t_{i} - t_{i-1}) + 100(t_{j} - t_{j-1}) + \sum_{j+1}^{n}(-5)(t_{i} - t_{i-1})=\\ &=10(1-\delta)+100\cdot2\delta-5(1-\delta)=5+195\delta \end{align} 가지도록 $$ U(f,P)-L(f,P)=210\delta<\varepsilon $$ 당신은 선택해야 $$ \delta<\frac{\varepsilon}{180}. $$