부가 물 증명 $\text{ev}_0 \dashv r:\mathcal{C}^{\Delta} \to \mathcal{C}$

Question

나는 그것을 기억한다 $\Delta$ 객체가 형식 인 범주입니다. $\textbf{n}=\{0,1,...,n\}$ 모피 즘은 (약한) 질서 보존 맵입니다.

허락하다 $\mathcal{C}$ 카테고리가되고, $\mathcal{C}^{\Delta}=[\Delta, \mathcal{C}]$ cosimplicial 객체의 functor 범주 $\mathcal{C}$.

펑터가 있습니다 $\text{ev}_0:\mathcal{C}^{\Delta} \to \mathcal{C}$ 공동 단순화 객체를 취하는 $X[-]$ 그 가치에 $0$, $X[0]$.

펑터도 있습니다 $r:\mathcal{C} \to \mathcal{C}^{\Delta}$ 물건을 가지고 $C$ 상수 펑터에 $rC$ 그런 $rC[n]=C$ 모든 $n$.

나는 우리에게 부속물이 있다는 주장을 읽었습니다. $$\text{ev}_0 \dashv r$$ 그리고 그것을 증명하고 싶습니다.

자연스러운 변화를 감안할 때 $\eta: X[-] \Rightarrow rC$, 물론지도로 보낼 수 있습니다 $\eta_0:X[0]\to C.$

반면에 다이어그램을 고려할 수 있습니다. $$\cdots\to X[n]\to \cdots \to X[1]\to X[0]$$ 각각의 $$\alpha_{n,n-1}:X[n] \to X[n-1]$$ 추측에 의해 유도된다 $\textbf{n}\to \textbf{n-1}$ 배상 $n \mapsto n-1$ 과 $i \mapsto i$ 모든 $i<n$.

그래서 주어진지도 $f:X[0] \to C,$ 나는 귀납적으로 정의 할 수있다 $$f_0=f$$ $$f_i=f_{i-1}\alpha_{i,i-1}$$

이 가족을 증명한다면 $\{f_i\}_i$cosimplicial 세트의 맵, 즉 자연스러운 변환을 정의합니다. 하지만 나는 wrt 일반지도를 수행하는 방법을 모릅니다$X[i]\to X[j].$

Answer 1

각각 $n$ 독특한지도가 있습니다 $!_n : n \to 0$ 에 $\Delta$. 한다고 가정$\alpha : X \implies r(c)$자연스러운 변화입니다. 그런 다음지도에서 자연 스러움으로$!_n$, 구성 요소 $\alpha_n$ 다음과 같아야합니다. $\alpha_0 \circ X(!_n)$. 따라서 자연스런 변화$\mathcal{C}^\Delta(X, r(c))$ 완전히 결정됩니다 $\alpha_0$.

반면에 $\alpha_0 : X(0) \to c$ 형태소입니다 $\mathcal{C}$ 자연스런 변화로 끌어 올릴 수 있습니다. $\alpha : X \implies r(c)$ 구성 요소를 정의하여 $\alpha_m : X(m) \to c$ 되려고 $\alpha_0 \circ X(!_m)$. 이것은 정말 자연스러운 변화입니다.$f:n \to m$ 에 $\Delta$ 그때 $\alpha_m \circ X(f) = \alpha_0 \circ X(!_m) \circ X(f) = \alpha_0 \circ X(!_m \circ f) = \alpha_0 \circ X(!_n) = \alpha_n$.