분리 가능한 공간의 이미지도 분리 가능

Question

허락하다 $X$ 과 $X^\prime $ 미터법 공간이어야합니다. 여기서 $X$분리 가능합니다. 허락하다$f: X \rightarrow X^\prime$연속적인 추측 기능이어야합니다. 보여줘$X^\prime$ 분리 가능합니다.

내 솔루션이 유효한지 확인하고 싶습니다. 감사합니다.

증명. 한다고 가정$X$분리 가능합니다. 그런 다음 세트가 있습니다$A$ 밀도가 높은 $X$, 어디 $A$셀 수 있습니다. 이후$A$ 밀도가 높다 $X$, 정의에 따라 $\bar{A} = X$, 따라서 모두 $x \in X$ 그리고 모든 $\delta > 0$, 우리는 $B_\delta (x) \cap A \neq \emptyset$. 같은 공$B_\delta$ 중심에 $\alpha, B_\delta (a),$ 포함됩니다 $x$ 대칭으로 $d(x,a)$.

이후 $f$ 연속적입니다. $\alpha \in A$ 우리는 모두를위한 것입니다 $r > 0$, 존재 $\delta > 0$, 모두를 위해 $x \in X$ 만족스러운 $d(x,a) < \delta$, 우리는 $d^\prime (f(x), f(a)) < r$.

허락하다 $B_r(f(a))$ 열린 공이되다 $X^\prime$ 이미지를 중심으로 $a$, 어디 $r$ 정의에서 임의적입니다. $f$연속적입니다. 이제 구성$$B = \{f(\alpha): \alpha \in A\}.$$ 이후 $A$ 셀 수 있으므로 $B$. 그런 다음 우리는 모두를 위해$f(x) \in X^\prime$ 그리고 임의의 $r > 0$, 열린 공 $B_r(f(x)) \cap B \neq \emptyset$, (때문에 $f(a) \in B$). 모든 열린 공은$f(x) \in X^\prime$ 교차 $B$ 정의에 따라 비어 있지 않습니다. $f(x)$ 폐쇄 중입니다 $B$, 그 후 $\bar{B} = X$. 의 surjectivity에 의해$f$, 우리는 이것이 모든 이미지에 적용된다는 것을 알고 있습니다. $f(x)$. 그 후,$B$ 밀도가 높다 $X^\prime$ 그리고 건설에 의해 $B$ ...에서 $A$, 그것은 또한 셀 수 있습니다. 따라서,$X^\prime$ 분리 가능합니다.

QED

Answer 1

$\newcommand{\cl}{\operatorname{cl}}$의견에 언급 된 오류를 제외하고 증명은 정확하지만 불필요하게 길고 서투 르며 따라서 따라야 할 필요 이상으로 어렵습니다. 여기에 본질적으로 동일한 아이디어가 더 간단하게 표현되었습니다.

한다고 가정 $X$ 분리 가능합니다. $A$ 셀 수있는 조밀 한 부분 집합 $X$, 그리고 $B=f[A]$; 분명히$B$ 셀 수 있으므로 우리는 $B$ 밀도가 높다 $X'$. 이를 위해서는 각각의$y\in X'$ 에 $\cl B$, 그럼 $y\in X'$임의적이다. 우리는 그것을 보여주고 싶습니다$B_{d'}(y,\epsilon)\cap B\ne\varnothing$ 각각 $\epsilon>0$, 그럼 $\epsilon>0$.

이후 $f$ 순전히 $y=f(x)$ 일부 $x\in X$, 이후 $f$ 연속적이며 $\delta>0$ 그런 $f[B_d(x,\delta)]\subseteq B_{d'}(y,\epsilon)$. $A$ 밀도가 높다 $X$, 그래서 일부 $a\in B_d(x,\delta)\cap A$. 분명히$f(a)\in f[B_d(x,\delta)]\cap f[B]\subseteq B_{d'}(y,\epsilon)\cap B$, 그래서 $B_{d'}(y,\epsilon)\cap B\ne\varnothing$, 바라는대로, $B$ 밀도가 높다 $X'$, 및 $X'$ 분리 가능합니다. $\dashv$