분리 가능한 내부 제품 공간의 이중에 내부 제품

Question

허락하다 $H$ 분리 가능한 내부 제품 공간이되고 $H'$ 이중을 나타냅니다 $H$(제한된 선형 함수 집합).
중히 여기다$(u_n)$ 셀 수있는 직교 벡터 패밀리 $H$ 조밀 한 선형 스팬으로.

에 대한 $f,g \in H'$ 밝히다 $\langle f,g \rangle = \sum_{j=1}^\infty \overline{f(u_j)}g(u_j)$.
그때:

• $\langle \cdot,\cdot \rangle$ 내부 제품입니다 $H'$
• $H'$ 분리 가능한 힐베르트 공간입니다. $\langle \cdot,\cdot \rangle$
• 에 의해 유도 된 규범 $\langle \cdot,\cdot \rangle$ 일반적인 연산자 표준입니다.

증명조차 어렵습니다 $\langle f,g \rangle$잘 정의되어 있습니다 ... 여기 제가 시도한 것입니다. 어떠한 것도$N\geq 1$, $$\sum_{j=1}^N |\overline{f(e_j)}g(e_j)| \leq \left(\sum_{j=1}^N|f(e_j)|^2 \right)^{1/2} \left(\sum_{j=1}^N|g(e_j)|^2 \right)^{1/2} $$

과 $$\sum_{j=1}^N|f(e_j)|^2 = \|\sum_{j=1}^N f(e_j) e_j \|^2,$$

하지만 왜 $\sum_{j\geq 1} f(e_j) e_j$ 수렴?

또 다른 생각 : $$\sum_{j=1}^N|f(e_j)|^2 \leq \|f\| \sum_{j=1}^N \|e_j\|^2 = \|f\| \Big |\Big |\sum_{j=1}^N e_j \Big |\Big |^2$$

하지만 왜 $\sum_{j\geq 1}e_j$ 수렴?

Answer 1

어떠한 것도 $x = \sum x_i e_i $ 에 $H$, 우리는 $|g(x)|\le \|g\| \|x\|$, 즉

$$\tag{1} \left| \sum_{i=1}^\infty x_i g(e_i)\right| \le \| g\| \|x\|. $$

이제 각각 $N$, 허락하다 $x_N = \overline{g(e_1)}x_1 + \cdots \overline{g(e_n)} e_n$. 그런 다음 (1)에서

\begin{align} \sum_{i=1}^N |g(e_i)|^2 &= \left| \sum_{i=1}^N \overline{g(e_i)} g(e_i) \right| \\ &\le\| g\| \sqrt{\sum_{i=1}^N |g(e_i)|^2}\\ \Rightarrow\sqrt{\sum_{i=1}^N |g(e_i)|^2} &\le \|g\|. \end{align}

따라서 계산과 함께 $$\langle f, g\rangle \le \|f\| \cdot \|g\|$$ 그래서 내적은 잘 정의되어 있습니다.