분수 라플라시안의 대칭
허락하다 $\Omega\subset\mathbb{R}^n$, 허락하다 $s\in [1/2,1)$, 허락하다 $u\in C^{1,2s-1+\epsilon}(\Omega)$ 다음과 같이 : $u=0$ 의 위에 $\mathbb{R}^n\setminus\Omega$, 및 : $u\in C^{0,s}(\mathbb{R}^n)$는 다음과 같은 사실입니다. $$\int_{\mathbb{R}^n}\phi(-\Delta)^su\,dx=\int_{\mathbb{R}^n}u(-\Delta)^s\phi,\quad\forall\phi\in C^\infty_c(\mathbb{R}^n)?$$ 나는 그것을 권합니다. $$ \int_{\mathbb{R}^n}\phi(-\Delta)^sf\,dx=\int_{\mathbb{R}^n}f(-\Delta)^s\phi\,dx,\quad\forall f,\phi\in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n).$$ 나는 계속하는 방법을 모른다. 어떤 도움을 주시면 감사하겠습니다.
답변
만약 $x, y \in \Omega$, 다음 $$ |u(y) - u(x) - \nabla u(x) \cdot (y - x)| \leqslant C |y - x|^{2 s + \epsilon} ,$$ 그래서 적분 $$ \iint_{\Omega \times \Omega} \frac{u(y) - u(x) - \nabla u(x) \cdot (y - x)}{|y - x|^{n + 2 s}} \, \phi(x) dx dy $$ 절대적으로 수렴합니다.
표시 $d(x) = \operatorname{dist}(x, \partial \Omega)$. 만약$x \in \Omega$, $y \in \Omega^c$, 다음 $|u(x)| \leqslant C d(x)$ (때문에 $\nabla f$ 제한됨) 및 $u(y) = 0$. 그러므로,$$ |u(y) - u(x) - \nabla u(x) \cdot (y - x)| \leqslant |u(x)| + |\nabla u(x)| \, |y - x| \leqslant C d(x) + C |y - x| .$$ 더욱이, $$ \int_{\Omega^c} \frac{1}{|y - x|^{n + 2 s}} \, dy \leqslant \frac{1}{(d(x))^{2s}} $$ 과 $$ \int_{\Omega^c} \frac{|y - x|}{|y - x|^{n + 2 s}} \, dy \leqslant \frac{1}{(d(x))^{2s - 1}} \, . $$ 드디어, $1 / (d(x))^{2s - 1}$통합 가능합니다. 적분은 다음과 같습니다.$$ \iint_{\Omega \times \Omega^c} \frac{u(y) - u(x) - \nabla u(x) \cdot (y - x)}{|y - x|^{n + 2 s}} \, \phi(x) dx dy $$ 절대적으로 수렴합니다.
마찬가지로 $x \in \Omega^c$ 과 $y \in \Omega$, 우리는 $$ |u(y) - u(x) - \nabla u(x) \cdot (y - x)| \leqslant |u(y)| \leqslant C d(y) ,$$ 이후 $$ \int_\Omega \frac{1}{|y - x|^{n + 2 s}} \, dy \leqslant \min \biggl\{ \frac{1}{(d(x))^{2s}} , \frac{C |\Omega|}{|x|^{n + 2 s}} \biggr\} , $$ 우리는 절대 수렴 $$ \iint_{\Omega^c \times \Omega} \frac{u(y) - u(x) - \nabla u(x) \cdot (y - x)}{|y - x|^{n + 2 s}} \, \phi(x) dx dy . $$
마지막으로 적분은 $\Omega^c \times \Omega^c$ 동일하게 0입니다.
우리는 적분 $$ \iint_{\mathbb R^n \times \mathbb R^n} \frac{u(y) - u(x) - \nabla u(x) \cdot (y - x)}{|y - x|^{n + 2 s}} \, \phi(x) dx dy $$절대적으로 수렴합니다. 이제 일반적인 주장이 적용됩니다.$$\begin{aligned} \int_\Omega (-\Delta)^s u(x) \phi(x) dx & = \iint_{\mathbb R^n \times \mathbb R^n} \frac{u(y) - u(x) - \nabla u(x) \cdot (y - x)}{|y - x|^{n + 2 s}} \, \phi(x) dx dy \\ & = \lim_{\delta \to 0^+} \iint_{|x - y| > \delta} \frac{u(y) - u(x) - \nabla u(x) \cdot (y - x)}{|y - x|^{n + 2 s}} \, \phi(x) dx dy \\ & = \lim_{\delta \to 0^+} \iint_{|x - y| > \delta} \frac{u(y) - u(x)}{|y - x|^{n + 2 s}} \, \phi(x) dx dy \\ & = \lim_{\delta \to 0^+} \iint_{|x - y| > \delta} \frac{\phi(y) - \phi(x)}{|y - x|^{n + 2 s}} \, u(x) dx dy \\ & = \lim_{\delta \to 0^+} \iint_{|x - y| > \delta} \frac{\phi(y) - \phi(x) - \nabla \phi(x) (y - x)}{|y - x|^{n + 2 s}} \, u(x) dx dy \\ & = \int_\Omega (-\Delta)^s \phi(x) u(x) dx . \end{aligned}$$ (여기서 두 번째 평등은 지배적 수렴, 네 번째 평등은 Fubini, 여섯 번째 평등은 지배적 수렴에 따릅니다.)