차별화 가능성 확인 $x=0$
그래서 제가 작업하는 문제 진술은
부정적분 구하기 $\exp(-|x|)$ 에 관하여 $x$.
아래에 답변을 제공했지만 마지막에 몇 가지 질문이 있습니다. 내 작업을 먼저 보여 주면 더 쉽다고 생각합니다 (또는 마지막 단락으로 이동하여 내 질문으로 바로 이동).
내 대답 \begin{align*} \int \exp(-|x|) dx &= \begin{cases} \int \exp(-x) dx \text{ if } x\geq0\\ \int \exp(x) dx \text{ if } x<0\\ \end{cases}\\ &\overset{(\star)}{=} \begin{cases} -\exp(-x) + 2 + C \text{ if } x\geq0\\ \exp(x) + C \text{ if } x<0 \end{cases} \end{align*}
나는 추가했다 $2$ 이후 그래프의 오른쪽에 $x=0$, \begin{align*} -\exp(-0) + C_1 &= \exp(0) + C_2 \\ \implies -1 + C_1 &= 1 + C_2 \\ \implies C_1 &= 2 + C_2 \end{align*}
제거해야하는 불연속성을 시각화하기 위해 그래프를 추가했습니다. 엄밀히 말해서, 반도 함수가 원점에서 미분 할 수 있음을 여전히 보여줄 필요가 있기 때문에 여기서는 끝나지 않았습니다. 따라서 파생어의 정의를 사용하려고했습니다.
\ begin {equation *} f '(x_0) = \ lim_ {x \ to x_0} \ frac {f (x_0 + h) -f (x_0)} {h} \ end {equation *}
하지만 이것이 올바른지 잘 모르겠습니다.
왼손 제한
\begin{align*} F(x_0) &= \lim_{h\to0^-}\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h} \\ &= \lim_{h\to0^-}\frac{\exp(x_0+h)+C-(\exp(x_0)+C)}{h} && x_0 = 0 \\ &= \lim_{h\to0^-}\frac{\exp(h)-1}{h} && \text{Rule of L'hopital}\\ &= 1 \end{align*}
오른손 제한
\begin{align*} F(x_0) &= \lim_{h\to0^+}\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h} \\ &= \lim_{h\to0^+}\frac{-\exp(-x_0-h)+2+C-(-\exp(-x_0)+2+C)}{h} \\ &= \lim_{h\to0^+}\frac{-\exp(x_0)\exp(-h)+\exp(x_0)}{h} && x_0 = 0 \\ &= \lim_{h\to0^+}\frac{-\exp(-h)+1}{h} && \text{Rule of L'hopital} \\ &= 1 \end{align*}
이것에서 그것은 추가하는 것처럼 보입니다 $2$차별성에 대한이 증명에서 실제로 차이를 만들지 않았습니까? 나는 또한 한계 증명에서 Rule of L' hopital을 사용하는 나 자신에 대해 기분이 좋지 않지만 계속 진행할 다른 방법은 없었으므로이 상황에서 내가 생각 해낼 수있는 최선의 방법입니다.
답변
첨가 $2$한계 계산에 많은 도움이됩니다. 왼쪽 제한에 큰 영향을 미칩니다. 분자를보세요$$ F(x_0+h)-F(x_0) $$ 여기, 왼쪽 $F$ 용도 $C_1$ 그리고 오른쪽 $F$ 용도 $C_2$, 그래서이 분자는 접근하지 않습니다 $0$ 추가하지 않는 한 전혀 $2$.
l' Hopital을 피하는 방법은 정의하는 방법에 따라 다릅니다. $\exp$. 어쨌든, 당신의 왼손 제한은 실제로$e^x$ ...에서 $x=0$(미분의 정의에 삽입하고 동일한 결과를 얻는 지 확인하십시오). 마찬가지로, 오른쪽 한계는 다음의 오른쪽 도함수와 같습니다.$-e^{-x}$ ...에서 $x=0$. 따라서이 두 파생물이 무엇인지 이미 알고 있다면 완료된 것입니다.
추가하지 않으면 $2$, 귀하의 기능은 $0$, 따라서 그 시점에서 미분 할 수 없습니다. 넣지 않으면$0$, 왼쪽 미분 $0$ 될거야$$\lim_{h\to0^-}\frac{\exp(h)+C-(-\exp(0)+C)}h=\lim_{h\to0^-}\frac{\exp(h)+1}h=-\infty.$$
왼쪽에 역도 함수는
$$e^{x}+C_-$$ 그리고 오른쪽에
$$-e^{-x}+C_+.$$
회의 지점에서 연속성이 보장되어야합니다 (역도 함수이므로). $$f(0)=1+C_-=-1+C_+$$ 필수입니다.
이제 긍정적 $h$
$$f'^+(0)\leftarrow\frac{f(h)-f(0)}h=\frac{-e^{-h}+1}h$$ 과 $$f'^-(0)\leftarrow\frac{f(-h)-f(0)}{-h}=-\frac{e^{-h}-1}h$$RHS의 한계가 존재하면 미분이 존재합니다. 그리고 그것은 음의 지수의 올바른 도함수이기 때문에 확실히 존재합니다.
$f(x)=\exp(-\vert x \vert)$ 연속 맵의 구성이므로 연속 맵입니다.
따라서 부정적분의 미분이 존재하는지 확인할 필요가 없습니다. 미적분학의 기본 정리에 의해 존재합니다.
평등
$$\int \exp(-|x|) dx = \begin{cases} \int \exp(-x) dx \text{ if } x\geq0\\ \int \exp(x) dx \text{ if } x<0\\ \end{cases}$$ 당신이 쓴 것은 말이되지 않습니다.
부정적분은 1이며 0의 왼쪽과 오른쪽이 다르지 않습니다.
당신이 쓸 수있는 것은
$$\int \exp(-\vert t \vert) dt= C + \int_0^x f(t) dt$$
그런 다음 케이스를 분리하십시오. $x<0$ 과 $x \ge 0$.