찾는 방법 $\lim_{n \to \infty} \Big (1 - \frac{c \ln(n)}{n} \Big)^n$

Question

허락하다 $c \neq 1$포 시브 실수 여야합니다. 다음 제한 찾기

$$\lim_{n \to \infty} \Big (1 - \frac{c \ln(n)}{n} \Big)^n.$$

알아 $\lim_{n \to \infty} \Big( 1 + \frac{c}{n} \Big)^{bn} = e^{bc}$. 그러나 여기에서는 사용할 수 없습니다.$\ln(n)$상수가 아닙니다. 나는 또한 찾는 방법을 알고$\lim_{n \to \infty} \Big( 1 + \frac{1}{n^2} \Big)^{n}$, 아마도 우리의 한계에 더 가깝습니다.

위 한계의 증명에 나타나는 몇 가지 방법 (예 : L' Hopital의 규칙)을 사용하여 해결하려고했습니다. $\lim_{n \to \infty} \Big (1 - \frac{c \ln(n)}{n} \Big)^n$그러나 성공하지 못했습니다. 그래프$\Big (1 - \frac{c \ln(n)}{n} \Big)^n$ 한계가 있음을 나타냅니다. $\infty$ 만약 $c < 1$ 그렇지 않으면 제한은 0입니다.

이 한계를 해결하는 방법에 대한 제안에 감사드립니다. 또한이 주제에 대한 모든 독서 (어디에서나 그러한 예를 찾지 못했습니다)에 감사드립니다.

Answer 1

만약 $x_n\to \infty$, 및 $c>0$, 다음 $$ \left(1-\frac{c}{x_n}\right)^{x_n}\to \mathrm{e}^{-c} $$ OP 케이스 $$ \left(1-\frac{c\ln n}{n}\right)^{n}= \left(1-\frac{c}{\frac{n}{\ln n}}\right)^{\frac{n}{\ln n}\cdot \ln n}= \left(\left(1-\frac{c}{x_n}\right)^{x_n}\right)^{\ln n} $$ 어디 $x_n=\frac{n}{\ln n}$. 그 후$$ \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{c\ln n}{n}\right)^{n}=\lim_{n\to\infty}\left(\mathrm{e}^{-c}\right)^{\ln n}=\lim_{n\to\infty}n^{-c}=0. $$

Answer 2

$\frac {\ln (1-x)} x \to -1$ 같이 $x \to 0$. 한계를 찾으려면$n \ln (1-\frac {c \ln n} n)$ 따라서 한계를 찾는 것으로 충분합니다. $-n \frac {c \ln n} n$ 그것은 분명히 $-\infty$ 어떠한 것도 $c>0$ 과 $\infty$ ...에 대한 $c <0$. 이제 지수를 취하십시오.

답변 : 제한은 $0$ 만약 $c>0$, $\infty$ 만약 $c <0$ 과 $1$ 만약 $c=0$.

Answer 3

이후 $$\lim_{n \to \infty}(1 - \frac{c \ln(n)}{n}) = 1 $$한계를 다음 과 같이 쓸 수 있습니다.$$L = \lim_{n \to \infty} \Big (1 - \frac{c \ln(n)}{n} \Big)^n = \lim_{n \to \infty} \exp(-\frac{c \ln(n)}{n})n = \lim_{n\to \infty} \exp(-c \ln(n)) = \lim_{n \to \infty} n^{-c}$$만약 $c \gt 0$ 그때 $L = 0$. 경우에$c\lt 0$ 우리는 $L = \infty$ 과 $c = 0$ 암시 $L = 1$.

Answer 4

Maclaurin 시리즈의 로그와 지수 함수를 사용하면 \begin{align*} \left( {1 - \frac{{c\log n}}{n}} \right)^n & = \exp \left( {n\log \left( {1 - \frac{{c\log n}}{n}} \right)} \right) = \exp \left( {n\left( { - \frac{{c\log n}}{n} + \mathcal{O}\!\left( {\frac{{\log ^2 n}}{{n^2 }}} \right)} \right)} \right) \\ &= \exp \left( { - c\log n + \mathcal{O}\!\left( {\frac{{\log ^2 n}}{n}} \right)} \right) = n^{ - c} \left( {1 + \mathcal{O}\!\left( {\frac{{\log ^2 n}}{n}} \right)} \right). \end{align*} 이제 쉽게 결론을 내릴 수 있습니다.