첫 번째 기본 형식

Question

Wolfram MathWorld는 포물선 과 그 미분 매개 변수를 다음과 같이 정의합니다.

\begin{align*} P&=\left(\frac{\partial x}{du}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{du}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{du}\right)^2= \\ &=1+\frac{1}{4u} \\ Q&=\frac{\partial x}{du}\frac{\partial x}{dv}+\frac{\partial y}{du}\frac{\partial y}{dv}+\frac{\partial z}{du}\frac{\partial z}{dv}= \\ &=\frac{1}{2\sqrt{u}}(\cos v - \sin v) \\ R&=\left(\frac{\partial x}{dv}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{dv}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{dv}\right)^2= \\ &=u \\ \end{align*}

이제 이러한 매개 변수가 계수에 해당하면 $E$, $F$ 과 $G$여기 에 설명 된 , 나는 그들이 어떻게 표현에 도달했는지 이해하지 못합니다.$Q$.

Answer 1

다른 의견 / 답변에도 불구하고 이러한 수량 은 일반적인 첫 번째 기본 형식입니다. Wiki 링크는$g_{ij} = X_i\cdot X_j$. 이것들은 보통입니다$E,F,G$, 그리고 그들은 독립 변수에 대한 매개 변수화의 미분의 내적입니다. 귀하의 경우 첫 번째 매개 변수는$u$ 두 번째 매개 변수는 $v$, 그리고 우리는 실제로 \begin{align*} P&=X_u\cdot X_u=E,\\ Q&=X_u\cdot X_v=F, \quad\text{and} \\ R&=X_v\cdot X_v=G. \end{align*} Wolfram이 왜 다른 문자를 사용하는지 잘 모르겠습니다.

추가 참조가 필요하면 내 차등 지오메트리 텍스트를 확인하십시오 .

Answer 2

첫 번째 기본 형태는 주변 공간에 포함 된 표면을 고려할 때 표면의 특정 지점에서 접하는 공간의 내적입니다. $\mathbb{R}^3$. 포물선이있는 경우$z=b(x^2+y^2)$이면 탄젠트 공간을 생성하는 표면의 탄젠트 벡터는 다음과 같습니다.

$v=[1,0, 2bx]$

과

$w=[0,1,2by]$

이 시점에서 첫 번째 기본 형식의 계수는 다음과 같이 계산 될 수 있습니다.

$E=\langle v, v \rangle=1+4b^2x^2$

$F=4b^2xy $

$G=1+4b^2y^2$

포물선에 대한 귀하의 링크에서, 나는 그 주장이 포물선의 측지선이라고 생각합니다.