최소한의 폴리 $\sqrt[3]{2}$ 위에 $\Bbb{Q}$ 와 동등하다 $\det(T_a - xI)$ 어디 $T_a$ 매트릭스입니다 $\Bbb{Q}$그것은 다중을 나타냅니다. 으로 $a$.
허락하다 $K/F$ 학위의 분야 확장 $n \in \Bbb{N}$ 그리고 각각 $a \in K$ 밝히다 $L_a(x) = a x$. 그때$L_a(x)$ 이다 $F$-선형 변환 $K$ 차원의 벡터 공간으로 $n$. 그래서 보내$K$ 으로 $F^{n \times n}$ 전송하여 매트릭스 링 $a$ ...에 $T_a = [ L_a(\theta_1) \ \cdots \ L_a(\theta_n) ]$ 추상적으로 우리가있는 곳 $L = \{ a_1 \theta_1 + \dots + a_n \theta_n : a_i \in F\}$ 일부 $\theta_i$ 기초 $K$.
그런 다음 $a \in K$, $f(x) = \det (T_a - xI) \in F[X]$ 특성 다항식, 우리는 $f(a) = 0$ 즉 $a$ 차수의 monic 인 특성 다항식의 근입니다. $n$ 그래서 특성 다항식은 실제로 $m_{a, F}(x)$ 최소 다항식 $a$ 위에 $F$.
나는 일반적인 경우에 이것을 증명하려고 노력하고 있습니다. $f(a) = 0$ 또는 동등하게 $T_a(y) = ay$ 모든 $y \in F^n$.
내가 지금까지 가지고있는 것은 :
$$ T_a(y) = \sum_{i=1}^n y_i L_a(\theta_i) \\ \implies T_a(y) = \sum_{i=1}^n y_i (a \theta_i) = a \cdot \dots $$
그래서 나는 그것을 지금까지 가지고 있습니다. 그런 다음 문제는이 아이디어를 테스트하여 학위의 모닉을 찾습니다.$3$ 만족하다 $a = \sqrt[3]{2}$.
그래서 저는 다음의 행렬식을 계산하고 싶습니다.
$$ \begin{pmatrix} x - \sqrt[3]{2} & 0 & 0 \\ 0 & x - \sqrt[3]{4} & 0 \\ 0 & 0 & x - 2 \end{pmatrix} $$
단순화를 위해 기호를 뒤집 었습니다. 나는 곱하여 위를 계산했습니다.$\theta_1 = 1, \theta_2 = \sqrt[3]{2}, $ 과 $\theta_3 = \sqrt[3]{4}$ 으로 $a$ 그리고 그것을 빼기 $x$.
나는 얻는다 :
$$ x^3 - 2 x^2 + (2 + 2\sqrt[3]{2} + 2\sqrt[3]{4}) x - 4 $$
다항식이 아닙니다. $F$. 내가함으로써 얻은 나쁜 용어$(-\sqrt[3]{2})(-2) + (-\sqrt[3]{4})(-2) + (-\sqrt[3]{2})(-\sqrt[3]{4})$ 논리적이고 대칭적인 방식으로.
내 계산에서 어디에서 잘못 되었습니까?
답변
나는 당신이 계산했다고 생각합니다 $T_a$틀리게. 나는 당신이 주문 된 기준을 사용하고 있다고 가정합니다$(1,\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{4})$ ...에 대한 $K$ 같이 $\mathbb Q$-벡터 공간 ( 편집 : 나는 당신이 있음을 알았습니다). 그래서 적용$L_a$ 첫 번째 기저 벡터에 $L_a(1)=\sqrt[3]{2}$. 이 정렬 된 기저에 대한 좌표 벡터의 관점에서, 이것은$$L_a\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}$$ 그래서 이것은의 첫 번째 열이어야합니다 $T_a$. 다른 열을 확인하기 위해 맡기겠습니다.
마지막으로, 작은 메모 : $\det(xI-T_a)$ 최소 다항식이 모닉이되도록합니다.