Christoffel 기호의 변형에서 측지 방정식의 대칭
나는 내 과제에 나타나는 다음 문제의 해결책을 요구하지 않습니다. 그러나, 나는이 질문을 이해하지 않고 누군가가하고 싶은 설명 하여 질문이 실제로 요구하고 무엇 과 도 솔루션에 대한 힌트를 찾기 위해 또는이 문제를 해결 무엇을 생각하는 경우와 같이,
측지 방정식을 다음에 대한 미분 방정식으로 표현 $x^{\mu}(\tau) .$ 이 방정식을 불변으로 남겨 둘 Christoffel 기호의 가장 일반적인 변형은 무엇입니까?
(질문은 메트릭 호환성과 비틀림 연결이 없다고 가정합니다.) Christoffel은 변환이있는 경우 변경 될 수 있습니다. $x\rightarrow\bar{x}$ 과 $g_{\mu\nu}\rightarrow\bar{g}_{\mu\nu}$. 또한 다음과 같은 경우 변경 될 수 있습니다.$\tau\rightarrow{\tau^\prime}$, 경유, $$\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2}+\Gamma^\mu_{\alpha\beta}(x(\tau))\frac{dx^\alpha}{d\tau}\frac{dx^\beta}{d\tau}=0\tag{1}$$질문은 어떤 변형을 요구하고 있습니까 (둘 다일 수도 있습니다! 아니면 Christoffel 상징 altogeher에 대해 다른 종류의 변형 일 수도 있습니다)? 질문에 어떻게 접근합니까?
답변
허락하다 $\nabla^{LC}$의사-리만 매니 폴드 에서 Levi-Civita (LC) 연결 을 나타냅니다. $(M,g)$. OP의 eq. (1)은 아핀 측지 방정식입니다. $\nabla^{LC}_{\dot{\gamma}}\dot{\gamma}=0$, 로컬 $x$-좌표계 $M$, 그러나 월드 라인 매개 변수화에 따라 다릅니다. $\tau$: 식. (1) 매개 변수가$\lambda$되고 affinely 아크 길이에 관한$s=a\tau+b$ 측지선의.
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